От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 22 стр.

подрешётку решётки L, изоморфную решётке (C2 )3 .

  Доказательство. Для построения графа подрешётки, порожденной эле-
ментами x ∨ y, y ∨ z, z ∨ x надо найти все точные верхние и нижние гра-
ни. Так например, ((x ∨ y) ∧ (y ∨ z)) ∨ ((x ∨ y) ∧ (z ∨ x)) = x ∨ y . Дей-
ствительно, так как y ≤ (x ∨ y) ∧ (y ∨ z)) и x ≤ (x ∨ y) ∧ (z ∨ x)), то
x ∨ y ≤ ((x ∨ y) ∧ (y ∨ z)) ∨ ((x ∨ y) ∧ (z ∨ x)). Обратное неравенство очевидно.




                            Рис. 3: Граф из леммы 5.3



  Или ((x∨y)∧(y ∨z))∨(z ∨x) = x∨y ∨z. Действительно, y ≤ (x∨y)∧(y ∨z)
и значит ((x∨y)∧(y ∨z))∨(z ∨x) ≥ x∨y ∨z . Обратное неравенство следует из
того, что x ∨ y ∨ z больше всех рассматриваемых элементов, а операции ∨, ∧
сохраняют неравенства. Итак, получаем граф (см. рис.3). Остается заметить,
что все восемь элементов этой подрешетки различны. Действительно, если
например (x ∨ y) ∧ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ (z ∨ x), то объединяя обе части
этого равенства с элементом z ∨ x (учитывая доказанное выше), получим
x ∨ y ∨ z = z ∨ x, то есть x ∨ y ≤ z ∨ x. Это противоречит условию леммы. 

  5.4. Теорема. Свободная дистрибутивная решётка FD (3), порожденная
тремя попарно несравнимыми элементами x, y, z имеет 18 элементов (см.
рис. 4).

  Доказательство. Наиболее общая решётка получится, если считать, что


                                       22