От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 8 стр.

y , если x ≤ y и x ̸= y . Часть X0 ⊂ X называется цепью, если любые
два элемента X0 сравнимы. В частности, конечными цепями являются у.м
Cn = {c1 , c2 , ...cn } в которых c1 < c2 < ... < cn . Элемент z упорядоченного
множества X называется максимальным (соотв. минимальным), если z ≤
x ⇒ x = z (соотв. x ≤ z ⇒ x = z ). Часть X0 ограничена сверху, если
∃y ∈ X∀x ∈ X0 (x ≤ y). При этом y называется верхней границей для X0 . В
дальнейшем будет использоваться, эквивалентная аксиоме выбора,
  Лемма Цорна. Пусть в упорядоченном множестве X любая цепь огра-
ничена сверху. Тогда X имеет максимальный элемент.

  1.5. Два у.м (X1 , ≤1 ), (X2 , ≤2 ) изоморфны (соотв. антиизоморфны), если
существует биекция φ : X1 → X2 такая, что ∀x, y ∈ X1 (x ≤1 y ⇔ φ(x) ≤2
φ(y)) (соотв. x ≤1 y ⇔ φ(x) ≥2 φ(y)). Ясно, что при изоморфизме макси-
мальные (соотв. минимальные) элементы переходят в максимальные (соотв.
минимальные). При антиизоморфизме максимальные элементы переходят в
минимальные и наоборот.
  1.6. Пусть X – у.м и E ⊂ X . Через E s (соотв. E i ) совокупность всех верх-
них границ (соотв. всех нижних границ) множества E . Очевидно, что E ∩ E s
не более, чем одноэлементно и если E ∩ E s ̸= ∅, то элемент из этого пе-
ресечения называется наибольшим. Аналогично определяется наименьший
элемент. Точно также элемент из множества E s ∩ E si , если E s ∩ E si ̸= ∅
называется точной верхней границей множества E и обозначается sup E .
Соответственно элемент из E i ∩ E is , если он существует, называется точной
нижней границей множества E и обозначается inf E . Таким образом, sup E
это наименьшая из верхних границ для множества E , а inf E это наиболь-
шая из нижних границ для E . Для конечного множества E = {x1 , ..., xn }
                                 ∨n               ∧
                                                  n
используется обозначение sup E =    xk и inf E =    xk . В частности
                                      k=1                 k=1
sup{x, y} = x ∨ y и inf{x, y} = x ∧ y . В дальнейшем при использовании
точных границ мы всегда предполагаем их существование.

  1.7 Приведём некоторые свойства границ:


                                       8