От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x окажутся попарно несравнимыми. Это также приводит к двум восьми-
элементным подрешёткам, изоморфным решётке (C
2
)
3
. Однако, в общей мо-
дулярной решётке элемент u = (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x) уже не обязан равняться
элементу v = (x ∨y)∧(y ∨ z) ∧(z ∨x). Так как u ≤ v , то в общей модулярной
решётке надо рассматривать случай u < v . Но тогда между элементами u и
v есть элементы x
1
= (x ∧ v) ∨ u, y
1
= (y ∧ v) ∨ u, z
1
= (z ∧ v) ∨ u, точные
верхние грани которых есть элемент v, а точные нижние грани – элемент u.
Например, так как u ≤ (y ∧ v) ∨ u, u ≤ v, то применяя дважды M1, имеем
x
1
∧ y
1
= (u ∨ (x ∧ v)) ∧ ((y ∧ v) ∨u) = u ∨ ((x ∧v) ∧ ((y ∧ v) ∨ u) = u ∨ ((x ∧ v) ∧
(u ∨ y) ∧ v) = u ∨ ((x ∧ v) ∧ (u ∨ y)). Но x ∧ v = x ∧ (y ∨ z), y ∨ u = y ∨ (x ∧ z).
Значит (x ∧ v) ∧ (y ∨ u) = x ∧ (y ∨ z) ∧ (y ∨ (x ∧ z)). Так как x ∧ z ≤ x,
то по M1 [(x ∧ z) ∨ y] ∧ x = (x ∧ z) ∨ (y ∧ x) ≤ y ∨ z . Таким образом,x
1
∧
y
1
= (x ∧ z) ∨ (y ∧ x) ∨ u = u. Итак, элементы {u, v, (x ∧ v) ∨ u, (y ∧ v) ∨
u, (z ∧ v) ∨ u} образуют подрешётку, изоморфную M
3
. Сцепляя её с верхней
8-элементной подрешёткой (изоморфной (C
2
)
3
) в элементе v, а нижнюю 8-
элементную подрешётку (изоморфную (C
2
)
3
) в элементе u, получаем граф,
изображенный на рис. 5. Модулрность этой решетки следует из теоремы 3.2,
так она не содержит подрешёток, изоморфных N
5
.
Рис. 6: Свободная решётка C
2
∗ C
1
25
x окажутся попарно несравнимыми. Это также приводит к двум восьми-
элементным подрешёткам, изоморфным решётке (C2 )3 . Однако, в общей мо-
дулярной решётке элемент u = (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x) уже не обязан равняться
элементу v = (x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ (z ∨ x). Так как u ≤ v , то в общей модулярной
решётке надо рассматривать случай u < v . Но тогда между элементами u и
v есть элементы x1 = (x ∧ v) ∨ u, y1 = (y ∧ v) ∨ u, z1 = (z ∧ v) ∨ u, точные
верхние грани которых есть элемент v , а точные нижние грани – элемент u.
  Например, так как u ≤ (y ∧ v) ∨ u, u ≤ v , то применяя дважды M1, имеем
x1 ∧ y1 = (u ∨ (x ∧ v)) ∧ ((y ∧ v) ∨ u) = u ∨ ((x ∧ v) ∧ ((y ∧ v) ∨ u) = u ∨ ((x ∧ v) ∧
(u ∨ y) ∧ v) = u ∨ ((x ∧ v) ∧ (u ∨ y)). Но x ∧ v = x ∧ (y ∨ z), y ∨ u = y ∨ (x ∧ z).
Значит (x ∧ v) ∧ (y ∨ u) = x ∧ (y ∨ z) ∧ (y ∨ (x ∧ z)). Так как x ∧ z ≤ x,
то по M1 [(x ∧ z) ∨ y] ∧ x = (x ∧ z) ∨ (y ∧ x) ≤ y ∨ z . Таким образом,x1 ∧
y1 = (x ∧ z) ∨ (y ∧ x) ∨ u = u. Итак, элементы {u, v, (x ∧ v) ∨ u, (y ∧ v) ∨
u, (z ∧ v) ∨ u} образуют подрешётку, изоморфную M3 . Сцепляя её с верхней
8-элементной подрешёткой (изоморфной (C2 )3 ) в элементе v , а нижнюю 8-
элементную подрешётку (изоморфную (C2 )3 ) в элементе u, получаем граф,
изображенный на рис. 5. Модулрность этой решетки следует из теоремы 3.2,
так она не содержит подрешёток, изоморфных N5 . 




                          Рис. 6: Свободная решётка C2 ∗ C1



                                          25

Страницы