От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 28 стр.

                          d) (∨xi )′ = ∧x′i ; (∧xi )′ = ∨x′i .

  Доказательство. a).Так как x ∨ x′ = 1, x ∧ x′ = 0, то x является дополне-
нием к x′ . В силу 3.4 x = x′′ .
b) Используя D2, получим x′ = x′ ∨ 0 = x′ ∨ (x ∧ y) = (x′ ∨ x) ∧ (x′ ∨ y) =
1∧(x′ ∨y) = x′ ∨y . Это означает y ≤ x′ . Обратно, y ≤ x′ ⇒ x∧y ≤ x∧x′ = 0.
Таким образом, x′ есть наибольший из дизъюнктных к x элементов.
c) x ≤ y ⇒ y ′ ∧ x ≤ y ′ ∧ y = 0. В силу b) y ′ ≤ x′ .
                                     ′
d) В силу a) и c) отображение            : X → X есть антиавтоморфизм ум X .
Поэтому из 1.8. следует свойство d). В частности 1′ = (x ∨ x′ )′ = x′ ∧ x′′ =
x′ ∧ x = 0, 0′ = 1′′ = 1.

  6.5. Пусть X, Y – б.а и φ изоморфизм X на Y как у.м. Тогда для любых
a, b ∈ X

           φ(a ∨ b) = φ(a) ∨ φ(b); φ(a ∧ b) = φ(a) ∧ φ(b); φ(a′ ) = φ(a)′     (⋆)

Действительно, первые два равенства уже отмечались в 2.3. Далее так как
φ(0) ≤ φ(x) при любом x ∈ X и φ биекция, то φ(0) = 0. Аналогично, φ(1) =
1. Поэтому 0 = φ(0) = φ(a ∧ a′ ) = φ(a) ∧ φ(a′ ) и 1 = φ(a ∨ a′ ) = φ(a) ∨ φ(a′ ).
В силу единственности дополнения φ(a′ ) = φ(a)′ .
  Снова, как и для решёток, порядковое определение изоморфизма булевых
алгебр совпадает с алгебраическим: б.а X, Y изоморфны, если существует
биекция φ : X → Y сохраняющая алгебраические операции (⋆).
  В следующей теореме получим обобщение аксиомы дистрибутивности D1.
Введем следующие обозначения x ∧ E = {x ∧ y : y ∈ E} и x ∨ E = {x ∨ y :
y ∈ E}.

  6.6. Теорема. Пусть X – булева алгебра и E ⊂ X такое, что существу-
ет sup E . Тогда для любого x ∈ X

                             x ∧ sup E = sup(x ∧ E).                          D3

Доказательство. Так как x ∧ y ≤ x ∧ sup E(y ∈ E), то x ∧ sup E ∈ (x ∧ E)s .
Пусть z ∈ (x ∧ E)s , y ∈ E . Тогда z ∨ x′ ≥ (x ∧ y) ∨ x′ = (x ∨ x′ ) ∧ (y ∨ x′ ) =

                                           28