От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 30 стр.

наибольший и наименьший элементы единственны и мы можем положить
a ∧ a′ = 0, a ∨ a′ = 1. Тем самым мы показали, что X есть дистрибутивная
(в силу аксиомы a4)) решётка с 0, 1 и дополнением ′ . Итак, X – порядковая
б.а. 
  6.10. Примеры. 1). Пусть Ω – множество. Семейство Ω∀ всех подмно-
жеств множества Ω с порядком по включению является полной б.а, в которой
                 ′
∨ = ∪, ∧ = ∩,        =c , 0 = ∅, 1 = Ω.
  2) Непустое семейство A ⊂ Ω∀ называется алгеброй множеств на Ω, если
Ω ∈ A; A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A; Ac ∈ A. Это семейство, наделенное
порядком по включению является б.а.
  3) Пусть Ω – бесконечно. Тогда алгеброй множеств является семейство
Afin = {A ⊂ Ω : A конечно, или Ac конечно }.

26 ◦ . Если x ≤ y в б.а X , то z = y ∧ x′ единственный дизъюнктный к x
элемент такой, что y = x ∨ z . Показать.
27 ◦ . Пусть X б.а. Показать, что утверждение ∀E ⊂ X(inf E ∈ X) равно-
сильно утверждению ∀E ⊂ X(sup E ∈ X).
28 ◦ . Является ли свободная решётка FD (3) булевой алгеброй?




                §7. Идеалы и фильтры в булевой алгебре


  7.1. Пусть X – б.а. Непустое E ⊆ X называется идеалом, если

             i) x ∈ E, y ≤ x ⇒ y ∈ E ii) x, y ∈ E ⇒ x ∨ y ∈ E .

Из первого свойства, которое называется наследственностью, следует, что
всегда 0 ∈ E . Идеал E называется собственным, если E ̸= X . Очевидно,
что E собственный ⇔ 1 ̸∈ E . Если E собственный идеал, то card({a, a′ } ∩
E) < 2 для любого a ∈ X . Пусть a < 1. Тогда множество Xa = {x ∈ X :
x ≤ a} есть собственный идеал, который называется главным. Собственный
идеал называется максимальным, если он не содержится в более широком

                                          30