От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 29 стр.

y ∨ x′ ≥ y . Следовательно, z ∨ x′ ≥ sup E . Далее z = z ∨ 0 = z ∨ (x ∧ x′ ) =
(z ∨ x) ∧ (z ∨ x′ ) ≥ (z ∨ x) ∧ supE ≥ x ∧ sup E . Значит x ∧ sup E – наименьшая
из верхних границ для множества x ∧ E , то есть выполнено равенство D3.

  6.7. Следствие. Пусть X – булева алгебра и E ⊂ X такое, что суще-
ствует inf E . Тогда для любого x ∈ X

                              x ∨ inf E = inf(x ∨ E).                        D4

Доказательство. В силу свойства d) из 6.4. и D3 имеем (x ∨ inf E)′ =
x′ ∧ (inf E)′ = x′ ∧ (sup E ′ ) = sup(x′ ∧ E ′ ) = sup(x ∨ E)′ = (inf(x ∨ E))′ .
Следовательно, выполнено равенство D4.

  6.8. Дадим теперь (также как это было сделано для решёток) алгебраиче-
ское определение б.а. Алгебраическая система X c двумя бинарными опера-
циями ∨, ∧ и одной унарной операцией ′ ) называется булевой алгеброй если
∀a, b, c ∈ X выполнены требования
  a1) операции ∨, ∧ коммутативны и ассоциативны,
  a2) a ∧ (a ∨ b) = a, a ∨ (a ∧ b) = a (законы поглощения);
  a3) (a ∧ a′ ) ∨ b = b, (a ∨ a′ ) ∧ b = b;
  a4) a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).

  6.9. Теорема. Алгебраическое и порядковое определения булевой алгебры
эквивалентны.

  Доказательство. Пусть (X, ≤,′ , 0, 1) – порядковая б.а. Тогда, положив

                       a ∨ b = sup{a, b}, a ∧ b = inf{a, b},                 (1)

получаем, что алгебраическая система (X, ∨, ∧,′ ) удовлетворяет всем требо-
ваниям a1) – a4).
  Обратно, пусть X – алгебраическая б.а. Согласно теореме 2.2 условие a =
a ∧ b ⇔ a ≤ b определяет порядок в X . При этом a = a ∧ b ⇔ a ∨ b = b,
и относительно этого порядка имеют место равенства (1). Из аксиомы a3)
следует, что a ∧ a′ ≤ b ≤ a ∨ a′ для любых a, b ∈ X . Следовательно, a ∧ a′
есть наименьший, а a ∨ a′ есть наибольший элементы в у.м X . Но в у.м

                                          29