От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

собственном идеале.
Поскольку пересечение любого семейства идеалов является идеалом, то для
любого A ⊂ X существует наименьший идеал J(A) , содержащий множе-
ство A.
7.2. Лемма. Пусть A наследственное множество. Тогда
a) J(A) = {∨
k
i=1
a
i
: a
i
∈ A, k ∈ N},
b) если для любого конечного B ⊂ A идеал J(B) собственный, то и J(A)
собственный.
Доказательство. a). Обозначим правую часть доказываемого равенства
через A
∨
. Тогда A ⊂ A
∨
⊂ J(A) и A
∨
удовлетворяет ii) определения идеала.
Покажем, что A
∨
наследственно. Пусть x ≤ y ∈ A
∨
, y = y
1
∨y
2
∨...y
k
, y
i
∈ A.
Положим x
i
= x ∧ y
i
. Так как x
i
≤ y
i
, то x
i
∈ A. Далее x
1
∨ ... ∨ x
k
=
x ∧ (y
1
∨ ... ∨ y
k
) = x ∧ y = x. Значит x ∈ A
∨
и J(A) = A
∨
.
b) Допустим, что 1 ∈ J(A). Тогда по a) найдутся a
1
, ..., a
k
∈ A такие,
что 1 = a
1
∨ ... ∨ a
k
. Но тогда для B = {a
1
, ..., a
k
} идеал J(B) содержит
a
1
∨ ... ∨ a
k
= 1. Противоречие.
7.3. Предложение. Каждый собственный идеал содержится в макси-
мальном идеале. В частности, любой, неравный 1, элемент лежит в неко-
тором максимальном идеале.
Доказательство. Пусть E – собственный идеал. Рассмотрим E = { I :
E ⊆ I, I−собственный идеал } как у.м по включению. Если {I
j
} – цепь
в E , то F = ∪I
j
есть собственный идеал, содержащий E . Действительно,
x ≤ y ∈ F ⇒ ∃j(y ∈ I
j
) ⇒ x ∈ I
j
⊂ F . Если x
1
, x
2
∈ F , то найдутся
два индекса j
1
, j
2
такие, что x
1
∈ I
j
1
, x
2
∈ I
j
2
. Так как {I
j
} цепь, то либо
I
j
1
⊂ I
j
2
, либо I
j
2
⊂ I
j
1
. Значит x
1
, x
2
лежат в одном из этих идеалов, и
поэтому x
1
∨ x
2
∈ I
j
1
∪ I
j
2
⊂ F . Итак, любая цепь {I
j
} в E ограничена
сверху элементом ∪I
j
∈ E . По лемме Цорна E имеет максимальный элемент.
Наконец, заметим, что ∀a < 1, a ∈ X
a
и X
a
собственный идеал.
Теперь получим характеризацию максимальных идеалов в б.а.
31
собственном идеале.
  Поскольку пересечение любого семейства идеалов является идеалом, то для
любого A ⊂ X существует наименьший идеал J(A) , содержащий множе-
ство A.

  7.2. Лемма. Пусть A наследственное множество. Тогда
  a) J(A) = {∨ki=1 ai : ai ∈ A, k ∈ N},
  b) если для любого конечного B ⊂ A идеал J(B) собственный, то и J(A)
собственный.

  Доказательство. a). Обозначим правую часть доказываемого равенства
через A∨ . Тогда A ⊂ A∨ ⊂ J(A) и A∨ удовлетворяет ii) определения идеала.
Покажем, что A∨ наследственно. Пусть x ≤ y ∈ A∨ , y = y1 ∨ y2 ∨ ...yk , yi ∈ A.
Положим xi = x ∧ yi . Так как xi ≤ yi , то xi ∈ A. Далее x1 ∨ ... ∨ xk =
x ∧ (y1 ∨ ... ∨ yk ) = x ∧ y = x. Значит x ∈ A∨ и J(A) = A∨ .
  b) Допустим, что 1 ∈ J(A). Тогда по a) найдутся a1 , ..., ak ∈ A такие,
что 1 = a1 ∨ ... ∨ ak . Но тогда для B = {a1 , ..., ak } идеал J(B) содержит
a1 ∨ ... ∨ ak = 1. Противоречие. 

  7.3. Предложение. Каждый собственный идеал содержится в макси-
мальном идеале. В частности, любой, неравный 1, элемент лежит в неко-
тором максимальном идеале.

  Доказательство. Пусть E – собственный идеал. Рассмотрим E = {I :
E ⊆ I, I−собственный идеал } как у.м по включению. Если {Ij } – цепь
в E , то F = ∪Ij есть собственный идеал, содержащий E . Действительно,
x ≤ y ∈ F ⇒ ∃j(y ∈ Ij ) ⇒ x ∈ Ij ⊂ F . Если x1 , x2 ∈ F , то найдутся
два индекса j1 , j2 такие, что x1 ∈ Ij1 , x2 ∈ Ij2 . Так как {Ij } цепь, то либо
Ij1 ⊂ Ij2 , либо Ij2 ⊂ Ij1 . Значит x1 , x2 лежат в одном из этих идеалов, и
поэтому x1 ∨ x2 ∈ Ij1 ∪ Ij2 ⊂ F . Итак, любая цепь {Ij } в E ограничена
сверху элементом ∪Ij ∈ E . По лемме Цорна E имеет максимальный элемент.
Наконец, заметим, что ∀a < 1, a ∈ Xa и Xa собственный идеал.
  Теперь получим характеризацию максимальных идеалов в б.а.

                                          31

Страницы