От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

29
◦
. Показать, что
n
∩
i=1
X
a
i
= X
a
1
∧...∧a
n
, J(
n
∪
i=1
X
a
i
) = X
a
1
∨...∨a
n
.
§8. Топологическая реализация булевых алгебр
8.1. Пусть T – топологическое пространство. Семейство CO(T ) всех
открыто-замкнутых подмножеств T есть алгебра множеств. Топологическое
пространство T называется вполне несвязным, если CO(T ) является базисом
его топологии.
Пусть X – б.а и Q – множество всех максимальных идеалов в X . Для
идеала I в X обозначим M(I) = {q ∈ Q : q ⊇ I}.
8.2. Свойства M(·):
1) M({0}) = Q, M(X) = ∅, M(q) = {q}. 2) I
1
⊂ I
2
⇒ M(I
2
) ⊂ M(I
1
).
3) Пусть E – множество идеалов. Тогда
∩
I∈E
M(I) = M(J(
∪
I∈E
I)).
4) M(I
1
) ∪ M(I
2
) = M(I
1
∩ I
2
) для любых идеалов I
1
, I
2
.
Доказательство. 3) q ∈
∩
I∈E
M(I) ⇔ ∀I ∈ E(q ⊇ I) ⇔ q ⊇
∪
I∈E
I ⇔ q ⊇
J(
∪
I∈E
I). 4) Если q ∈ M(I
1
) ∪ M(I
2
), то q ⊇ I
1
или q ⊇ I
2
. Следовательно,
q ⊇ I
1
∩ I
2
. Обратно, если q ⊇ I
1
∩ I
2
, то по следствию 7.5. q содержит
целиком один из идеалов I
1
, I
2
. Значит q ∈ M(I
1
) ∪ M(I
2
).
8.3. Теорема Стоуна. Для любой булевой алгебры X существует вполне
несвязный отделимый компакт Q такой, что X изоморфна CO(Q). Ком-
пакт Q единственен с точностью до гомеоморфизма.
Доказательство. Пусть Q – семейство всех максимальных идеалов в б.а
X . Введем топологию в Q, объявив замкнутими множествами все подмно-
жества Q вида M(I), где I идеал в X . Из свойств 3), 4) пункта 8.2. следует,
что выполнены аксиомы замкнутых множеств.
Пусть a ∈ X . Покажем, что Q\M(X
a
) = M(X
a
)
c
= M(X
a
′
). Ес-
33
  ◦
                     ∩
                     n                              ∪
                                                    n
29 . Показать, что         Xai = Xa1 ∧...∧an , J(       Xai ) = Xa1 ∨...∨an .
                     i=1                         i=1




           §8. Топологическая реализация булевых алгебр


  8.1. Пусть T – топологическое пространство. Семейство CO(T ) всех
открыто-замкнутых подмножеств T есть алгебра множеств. Топологическое
пространство T называется вполне несвязным, если CO(T ) является базисом
его топологии.
  Пусть X – б.а и Q – множество всех максимальных идеалов в X . Для
идеала I в X обозначим M(I) = {q ∈ Q : q ⊇ I}.

  8.2. Свойства M(·):
1) M({0}) = Q, M(X) = ∅, M(q) = {q}. 2) I1 ⊂ I2 ⇒ M(I2 ) ⊂ M(I1 ).
                                      ∩            ∪
3) Пусть E – множество идеалов. Тогда   M(I) = M(J( I)).
                                                I∈E                      I∈E
4) M(I1 ) ∪ M(I2 ) = M(I1 ∩ I2 ) для любых идеалов I1 , I2 .
                            ∩                                 ∪
  Доказательство. 3) q ∈       M(I) ⇔ ∀I ∈ E(q ⊇ I) ⇔ q ⊇        I ⇔q ⊇
   ∪                       I∈E                               I∈E
J( I). 4) Если q ∈ M(I1 ) ∪ M(I2 ), то q ⊇ I1 или q ⊇ I2 . Следовательно,
  I∈E
q ⊇ I1 ∩ I2 . Обратно, если q ⊇ I1 ∩ I2 , то по следствию 7.5. q содержит
целиком один из идеалов I1 , I2 . Значит q ∈ M(I1 ) ∪ M(I2 ).

  8.3. Теорема Стоуна. Для любой булевой алгебры X существует вполне
несвязный отделимый компакт Q такой, что X изоморфна CO(Q). Ком-
пакт Q единственен с точностью до гомеоморфизма.

  Доказательство. Пусть Q – семейство всех максимальных идеалов в б.а
X . Введем топологию в Q, объявив замкнутими множествами все подмно-
жества Q вида M(I), где I идеал в X . Из свойств 3), 4) пункта 8.2. следует,
что выполнены аксиомы замкнутых множеств.
  Пусть a ∈ X . Покажем, что Q\M(Xa ) = M(Xa )c = M(Xa′ ). Ес-

                                           33

Страницы