От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

7.4. Теорема. Пусть X – ба, I – идеал. Эквивалентны утверждения:
1) I – максимальный идеал; 2) ∀a ∈ X (card({a, a
′
} ∩ I) = 1).
Доказательство. 1)⇒ 2). Если a = 0, то 0 ∈ I , если a = 1, то a
′
= 0 ∈ I .
Пусть 0 < a < 1 и a ̸∈ I, a
′
̸∈ I . Рассмотрим множество K = I ∨X
a
= {x∨y :
x ∈ I, y ∈ X
a
}. Покажем, что K – собственный идеал.
i). Пусть z ≤ w ∈ K, w = x ∨ y, x ∈ I, y ∈ X
a
. Положим z
1
= z ∧ x, z
2
= z ∧ y .
Тогда z
1
∈ I, z
2
∈ X
a
и z
1
∨ z
2
= z ∧ (x ∨ y) = z ∧ w = z . Поэтому z ∈ K .
ii). Пусть v, w ∈ K, v = x
1
∨ y
1
, w = x
2
∨ y
2
, где x
i
∈ I, y
i
∈ X
a
. Тогда
x
1
∨ x
2
∈ I, y
1
∨ y
2
∈ X
a
. Поэтому v ∨ w = (x
1
∨ x
2
) ∨ (y
1
∨ y
2
) ∈ K .
iii). Допустим, что 1 ∈ K . Тогда найдутся x ∈ I, y ∈ X
a
такие, что 1 = x∨ y.
Так как 0 = x
′
∧ y
′
, то по свойству b) 6.4. y
′
≤ (x
′
)
′
= x. В силу y ≤ a,
получим a
′
≤ y
′
≤ x, a
′
∈ I . Это противоречит предположению a
′
̸∈ I .
Итак, K – собственный идеал, K ⊃ I, K ̸= I . Это противоречит макси-
мальности I .
2)⇒ 1). Допустим, что I не максимален. Тогда существует собственный иде-
ал K ⊃ I, K ̸= I . Значит существует a ∈ K, 0 < a < 1, a ̸∈ I . По условию
a
′
∈ I , тогда a
′
∈ K, a ∨ a
′
= 1 ∈ K . Противоречие с тем, что K собственный
идеал.
7.5. Следствие. Пусть I – максимальный идеал, E
1
, E
2
идеалы и I ⊃
E
1
∩ E
2
. Тогда I содержит целиком один из них.
Доказательство. Допустим противное. Тогда ∃x
i
∈ E
i
\I(i = 1, 2). По
теореме 4.4. x
′
i
∈ I . Значит x
1
∨ x
2
∈ I . В силу наследственности x
1
∧ x
2
∈
E
1
∩ E
2
⊂ I . Следовательно, I ∋ x
′
1
∨ x
′
2
∨ (x
1
∧ x
2
) = (x
1
∧ x
2
)
′
∨ (x
1
∧ x
2
) = 1.
Противоречие с тем, что I собственный.
7.6. Часть F б.а X называется фильтром, если {x
′
: x ∈ F } есть собствен-
ный идеал в X . Максимальный относительно включения фильтр называется
ультрафильтром. Результаты, изложенные в 7.1 – 7.5, имеют соответствую-
щие аналоги для фильтров и ультрафильтров.
32
  7.4. Теорема. Пусть X – ба, I – идеал. Эквивалентны утверждения:
  1) I – максимальный идеал; 2) ∀a ∈ X (card({a, a′ } ∩ I) = 1).

  Доказательство. 1)⇒ 2). Если a = 0, то 0 ∈ I , если a = 1, то a′ = 0 ∈ I .
Пусть 0 < a < 1 и a ̸∈ I, a′ ̸∈ I . Рассмотрим множество K = I ∨Xa = {x∨y :
x ∈ I, y ∈ Xa }. Покажем, что K – собственный идеал.
i). Пусть z ≤ w ∈ K, w = x ∨ y, x ∈ I, y ∈ Xa . Положим z1 = z ∧ x, z2 = z ∧ y .
Тогда z1 ∈ I, z2 ∈ Xa и z1 ∨ z2 = z ∧ (x ∨ y) = z ∧ w = z . Поэтому z ∈ K .
ii). Пусть v, w ∈ K, v = x1 ∨ y1 , w = x2 ∨ y2 , где xi ∈ I, yi ∈ Xa . Тогда
x1 ∨ x2 ∈ I, y1 ∨ y2 ∈ Xa . Поэтому v ∨ w = (x1 ∨ x2 ) ∨ (y1 ∨ y2 ) ∈ K .
iii). Допустим, что 1 ∈ K . Тогда найдутся x ∈ I, y ∈ Xa такие, что 1 = x ∨ y .
Так как 0 = x′ ∧ y ′ , то по свойству b) 6.4. y ′ ≤ (x′ )′ = x. В силу y ≤ a,
получим a′ ≤ y ′ ≤ x, a′ ∈ I . Это противоречит предположению a′ ̸∈ I .
  Итак, K – собственный идеал, K ⊃ I, K ̸= I . Это противоречит макси-
мальности I .
2)⇒ 1). Допустим, что I не максимален. Тогда существует собственный иде-
ал K ⊃ I, K ̸= I . Значит существует a ∈ K, 0 < a < 1, a ̸∈ I . По условию
a′ ∈ I , тогда a′ ∈ K, a ∨ a′ = 1 ∈ K . Противоречие с тем, что K собственный
идеал.

  7.5. Следствие. Пусть I – максимальный идеал, E1 , E2 идеалы и I ⊃
E1 ∩ E2 . Тогда I содержит целиком один из них.

  Доказательство. Допустим противное. Тогда ∃xi ∈ Ei \I(i = 1, 2). По
теореме 4.4. x′i ∈ I . Значит x1 ∨ x2 ∈ I . В силу наследственности x1 ∧ x2 ∈
E1 ∩ E2 ⊂ I . Следовательно, I ∋ x′1 ∨ x′2 ∨ (x1 ∧ x2 ) = (x1 ∧ x2 )′ ∨ (x1 ∧ x2 ) = 1.
Противоречие с тем, что I собственный.

  7.6. Часть F б.а X называется фильтром, если {x′ : x ∈ F } есть собствен-
ный идеал в X . Максимальный относительно включения фильтр называется
ультрафильтром. Результаты, изложенные в 7.1 – 7.5, имеют соответствую-
щие аналоги для фильтров и ультрафильтров.



                                          32

Страницы