От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ли q ̸∈ M(X
a
), то q ̸⊇ X
a
, q ̸∋ a. По теореме 7.4. a
′
∈ q и значит
q ⊇ X
a
′
, q ∈ M(X
a
′
). Обратно, если q ∈ M(X
a
′
), то q ⊇ X
a
′
, q ∋ a
′
. Так как
q собственный идеал, то q ̸∋ a и, следовательно, q ̸⊇ X
a
, q ̸∈ M(X
a
). Итак,
все множества вида M(X
a
) являются открыто-замкнутыми.
Покажем, что семейство {M(X
a
) : a ∈ X} образует базис введенной топо-
логии на Q. Рассмотрим произвольное открытое множество Q\M(I) = {q ∈
Q : q ̸⊇ I}. Установим, что Q\M(I) = ∪{M(X
a
′
) : a ∈ I}. Если q ̸⊇ I , то
найдется a ∈ I такое, что a ̸∈ q . Тогда в силу теоремы 7.4. a
′
∈ q, q ⊇ X
a
′
и,
следовательно, q ∈ M(X
a
′
). Обратно, q ∈ ∪{M(X
a
′
) : a ∈ I} означает, что
найдется a ∈ I такое, что q ∈ M(X
a
′
). Поэтому q ⊇ X
a
′
, q ∋ a
′
. Но тогда
q ̸∋ a, q ̸⊇ I, q ∈ Q\M(I). Итак, топология Q вполне несвязна.
Установим, что Q – отделимый компакт. Действительно, если q
1
̸= q
2
, то
∃a ∈ X(a ∈ q
1
\q
2
). По теореме 7.4. a
′
∈ q
2
\q
1
и значит q
1
∈ M(X
a
), q
2
∈
M(X
a
′
) = M(X
a
)
c
. Итак, окрестности M(X
a
) и M(X
a
′
) точек q
1
и q
2
не
пересекаются.
Пусть {M(I) : I ∈ E} – произвольное семейство замкнутых множеств
такое, что любое его конечное подсемейство имеет непустое пересечение. Если
∩{M(I) : I ∈ E} = M(J(∪{I : I ∈ E})) = ∅, то J(∪{I : I ∈ E}) =
X . Но множество ∪{I : I ∈ E} наследственно. По лемме 7.2. существует
конечный набор a
i
∈ I
i
(i = 1, ..., k; I
i
∈ E) такой, что a
1
∨ ... ∨ a
k
= 1.
Это влечет J(∪
k
i=1
I
i
) = X . Тогда ∅ = M(X) = M(J(∪
k
i=1
I
i
)) = ∩
k
i=1
M(I
i
).
Противоречие.
Установим, что других открыто-замкнутых множеств кроме M(X
a
) нет.
Заметим в начале, что в силу упражнения 28
◦
и 8.2. M(X
a
1
)∩...∩M(X
a
n
) =
M(J(X
a
1
∪ ... ∪ X
a
n
)) = M(X
a
1
∨...∨a
n
). Отсюда, переходя к дополнениям,
M(X
a
1
) ∪ ... ∪ M(X
a
n
) = M(X
a
1
∧...∧a
n
).
Если U открыто-замкнуто, то U = ∪
a∈A
M(X
a
) в силу открытости U . В
силу же замкнутости U является компактным. Поэтому из его открытого
покрытия {M(X
a
) : a ∈ A} можно выделить конечное подпокрытие U =
∪
n
i=1
M(X
a
i
) = M(X
a
1
∧...∧a
n
), где a
i
∈ A.
34
ли q ̸∈ M(Xa ), то q ̸⊇ Xa , q ̸∋ a. По теореме 7.4. a′ ∈ q и значит
q ⊇ Xa′ , q ∈ M(Xa′ ). Обратно, если q ∈ M(Xa′ ), то q ⊇ Xa′ , q ∋ a′ . Так как
q собственный идеал, то q ̸∋ a и, следовательно, q ̸⊇ Xa , q ̸∈ M(Xa ). Итак,
все множества вида M(Xa ) являются открыто-замкнутыми.
  Покажем, что семейство {M(Xa ) : a ∈ X} образует базис введенной топо-
логии на Q. Рассмотрим произвольное открытое множество Q\M(I) = {q ∈
Q : q ̸⊇ I}. Установим, что Q\M(I) = ∪{M(Xa′ ) : a ∈ I}. Если q ̸⊇ I , то
найдется a ∈ I такое, что a ̸∈ q . Тогда в силу теоремы 7.4. a′ ∈ q, q ⊇ Xa′ и,
следовательно, q ∈ M(Xa′ ). Обратно, q ∈ ∪{M(Xa′ ) : a ∈ I} означает, что
найдется a ∈ I такое, что q ∈ M(Xa′ ). Поэтому q ⊇ Xa′ , q ∋ a′ . Но тогда
q ̸∋ a, q ̸⊇ I, q ∈ Q\M(I). Итак, топология Q вполне несвязна.
  Установим, что Q – отделимый компакт. Действительно, если q1 ̸= q2 , то
∃a ∈ X(a ∈ q1 \q2 ). По теореме 7.4. a′ ∈ q2 \q1 и значит q1 ∈ M(Xa ), q2 ∈
M(Xa′ ) = M(Xa )c . Итак, окрестности M(Xa ) и M(Xa′ ) точек q1 и q2 не
пересекаются.
  Пусть {M(I) : I ∈ E} – произвольное семейство замкнутых множеств
такое, что любое его конечное подсемейство имеет непустое пересечение. Если
∩{M(I) : I ∈ E} = M(J(∪{I : I ∈ E})) = ∅, то J(∪{I : I ∈ E}) =
X . Но множество ∪{I : I ∈ E} наследственно. По лемме 7.2. существует
конечный набор ai ∈ Ii (i = 1, ..., k; Ii ∈ E) такой, что a1 ∨ ... ∨ ak = 1.
Это влечет J(∪ki=1 Ii ) = X . Тогда ∅ = M(X) = M(J(∪ki=1 Ii )) = ∩ki=1 M(Ii ).
Противоречие.
  Установим, что других открыто-замкнутых множеств кроме M(Xa ) нет.
Заметим в начале, что в силу упражнения 28 ◦ и 8.2. M(Xa1 ) ∩ ... ∩ M(Xan ) =
M(J(Xa1 ∪ ... ∪ Xan )) = M(Xa1 ∨...∨an ). Отсюда, переходя к дополнениям,
M(Xa1 ) ∪ ... ∪ M(Xan ) = M(Xa1 ∧...∧an ).
  Если U открыто-замкнуто, то U = ∪a∈A M(Xa ) в силу открытости U . В
силу же замкнутости U является компактным. Поэтому из его открытого
покрытия {M(Xa ) : a ∈ A} можно выделить конечное подпокрытие U =
∪ni=1 M(Xai ) = M(Xa1 ∧...∧an ), где ai ∈ A.

                                        34

Страницы