От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Определим отображение φ : X → CO(Q) по формуле φ(a) = M(X
a
′
) и
покажем, что φ есть изоморфизм.
Действительно, a ≤ b ⇔ X
a
⊆ X
b
⇒ M(X
a
) ⊇ M(X
b
) ⇒ M(X
a
)
c
⊆
M(X
b
)
c
, M(X
a
′
) ⊆ M(X
b
′
), то есть φ(a) ⊆ φ(b).
Обратно. Допустим, что φ(a) ⊆ φ(b), но a ̸≤ b. Так как в силу 6.4 b)
a ≤ b ⇔ a ∧ b
′
= 0, то это значит, что элемент z = a ∧ b
′
> 0, а z
′
= a
′
∨ b < 1.
В силу предложения 7.3 существует максимальный идеал q ∋ z
′
. Этот идеал
q ̸∋ b
′
, иначе q ∋ z
′
∨ b
′
= a
′
∨ b ∨ b
′
= 1. Поэтому q ⊇ X
z
′
, q ̸⊇ X
b
′
или
q ∈ M(X
z
′
), q ̸∈ M(X
b
′
). Так как z
′
≥ a
′
, то X
z
′
⊇ X
a
′
, M(X
z
′
) ⊆ M(X
a
′
).
Это вместе с M(X
z
′
) ̸⊆ M(X
b
′
) дает M(X
a
′
) ̸⊆ M(X
b
′
). Противоречие.
Итак, a ≤ b ⇔ φ(a) ⊆ φ(b).
Установим единственность Q. Пусть
˜
Q – другой вполне несвязный отдели-
мый компакт такой, что ˜φ : X → CO(
˜
Q) есть изоморфизм булевых алгебр.
Рассмотрим композицию ψ = ˜φ ◦ φ
−1
: CO(Q) → CO(
˜
Q), значения кото-
рой будем обозначать ψ(U) =
˜
U . Тогда ψ есть биекция, переводящая пустое
множество в пустое, Q в
˜
Q, а также сохраняющая операции:
(U
1
∪ U
2
)
∼
=
˜
U
1
∪
˜
U
2
, (U
1
∩ U
2
)
∼
=
˜
U
1
∩
˜
U
2
, (U
c
1
)
∼
= (
˜
U
1
)
c
. (2)
Пусть {U
i
(q) : i ∈ I} – семейство всех открыто-замкнутых окрестностей
точки q ∈ Q. Так как топология в Q отделима, то
∩
i∈I
U
i
(q) = {q}. Рассмот-
рим семейство {ψ(U
i
(q)) ≡
˜
U
i
: i ∈ I}. Если
∩
i∈I
˜
U
i
= ∅, то
˜
Q =
∪
i∈I
˜
U
c
i
и так
как
˜
Q компакт, то существуют индексы i
1
, ..., i
n
∈ I такие, что
˜
Q =
n
∪
k=1
˜
U
c
i
k
или
n
∩
k=1
˜
U
i
k
= ∅. В силу (2) получаем
n
∩
k=1
U
i
k
(q) = ∅. Противоречие.
Пусть ˜q ∈
∩
i∈I
˜
U
i
. Тогда
˜
U
i
есть открыто-замкнутая окрестность точки ˜q
для любого i ∈ I . Предположим, что в семействе {
˜
U
i
: i ∈ I} перечислены
не все открыто-замкнутые окрестности точки ˜q . Это означает, что существует
открыто-замкнутая окрестность
˜
U(˜q) такая, что
˜
U(˜q) ̸=
˜
U
i
для любого i ∈ I .
Пусть U такое открыто-замкнутое множество в Q, что ψ(U) =
˜
U(˜q). Тогда
35
  Определим отображение φ : X → CO(Q) по формуле φ(a) = M(Xa′ ) и
покажем, что φ есть изоморфизм.
  Действительно, a ≤ b ⇔ Xa ⊆ Xb ⇒ M(Xa ) ⊇ M(Xb ) ⇒ M(Xa )c ⊆
M(Xb )c , M(Xa′ ) ⊆ M(Xb′ ), то есть φ(a) ⊆ φ(b).
  Обратно. Допустим, что φ(a) ⊆ φ(b), но a ̸≤ b. Так как в силу 6.4 b)
a ≤ b ⇔ a ∧ b′ = 0, то это значит, что элемент z = a ∧ b′ > 0, а z ′ = a′ ∨ b < 1.
В силу предложения 7.3 существует максимальный идеал q ∋ z ′ . Этот идеал
q ̸∋ b′ , иначе q ∋ z ′ ∨ b′ = a′ ∨ b ∨ b′ = 1. Поэтому q ⊇ Xz ′ , q ̸⊇ Xb′ или
q ∈ M(Xz ′ ), q ̸∈ M(Xb′ ). Так как z ′ ≥ a′ , то Xz ′ ⊇ Xa′ , M(Xz ′ ) ⊆ M(Xa′ ).
Это вместе с M(Xz ′ ) ̸⊆ M(Xb′ ) дает M(Xa′ ) ̸⊆ M(Xb′ ). Противоречие.
Итак, a ≤ b ⇔ φ(a) ⊆ φ(b).
  Установим единственность Q. Пусть Q̃ – другой вполне несвязный отдели-
мый компакт такой, что φ̃ : X → CO(Q̃) есть изоморфизм булевых алгебр.
Рассмотрим композицию ψ = φ̃ ◦ φ−1 : CO(Q) → CO(Q̃), значения кото-
рой будем обозначать ψ(U ) = Ũ . Тогда ψ есть биекция, переводящая пустое
множество в пустое, Q в Q̃, а также сохраняющая операции:


            (U1 ∪ U2 )∼ = Ũ1 ∪ Ũ2 , (U1 ∩ U2 )∼ = Ũ1 ∩ Ũ2 , (U1c )∼ = (Ũ1 )c .         (2)

  Пусть {Ui (q) : i ∈ I} – семейство всех открыто-замкнутых окрестностей
                                                    ∩
точки q ∈ Q. Так как топология в Q отделима, то         Ui (q) = {q}. Рассмот-
                                              ∩     i∈I
                                                                   ∪ c
рим семейство {ψ(Ui (q)) ≡ Ũi : i ∈ I}. Если   Ũi = ∅, то Q̃ =      Ũi и так
                                                         i∈I                   i∈I
                                                                                      ∪
                                                                                      n
как Q̃ компакт, то существуют индексы i1 , ..., in ∈ I такие, что Q̃ =                      Ũick
                                                                                      k=1
      ∩
      n                                        ∩
                                               n
или    Ũik = ∅. В силу (2) получаем        Uik (q) = ∅. Противоречие.
      k=1     ∩                         k=1
  Пусть q̃ ∈     Ũi . Тогда Ũi есть открыто-замкнутая окрестность точки q̃
                 i∈I
для любого i ∈ I . Предположим, что в семействе {Ũi : i ∈ I} перечислены
не все открыто-замкнутые окрестности точки q̃ . Это означает, что существует
открыто-замкнутая окрестность Ũ (q̃) такая, что Ũ (q̃) ̸= Ũi для любого i ∈ I .
Пусть U такое открыто-замкнутое множество в Q, что ψ(U ) = Ũ (q̃). Тогда


                                              35

Страницы