От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 37 стр.

31 ◦ . Пусть τ – топология стоуновского представления (Q, φ) б.а X и E –
множество всех идеалов в X . Показать, что отображение f (U ) = {a ∈
X : φ(a) ⊂ U }, U ∈ τ задает биекцию между множествами τ и E , при-
               ∪
чем f −1 (I) =   φ(a), I ∈ E .
                  a∈I
  ◦
32 . Пусть τ = {U c : U ∈ τ } – семейство всех замкнутых множеств в Q
              c

стоуновского представления (Q, φ) б.а X и F – множество всех фильтров в
X . Показать, что отображение g(Z) = {a ∈ X : Z ⊂ φ(a)}, Z ∈ τ c задает
                                                       ∩
биекцию между множествами τ c и F , причем g −1 (F ) =   φ(a), F ∈ F .
                                                             a∈F




              §9. Дизъюнктные дополнения. Компоненты


  9.1. Дизъюнктным доплнением множества E в б.а X называется множе-
ство E d = {y ∈ X : ∀x ∈ E(x ∧ y = 0)}. Если E d = {0}, то говорят, что
множество E полно.
  9.2. Свойства дизъюнктного доплнения:
1). Если E ∩ E d ̸= ∅, то E ∩ E d = {0}; 2). E1 ⊂ E2 ⇒ E2d ⊂ E1d ;
3). E ⊆ E dd , E d = E ddd ; 4). y ∈ E s ⇔ y ′ ∈ E d ;
5). Если существует sup E , то sup E ∈ E dd ; 6). E d – идеал;
7). Xad = Xa′ ; 8). x = sup E ⇒ x′ = sup E d ;
9). Если для E1 ⊆ E d существует sup E1 , то sup E1 ∈ E d ;
      ∩ d      ∪
10).    E =(     E)d .
      E∈E          E∈E
  Доказательство. 3). Если x ∈ E , то x ∧ y = 0 для любого y ∈ E d .
Следовательно, x ∈ E dd . Имеем E d ⊆ (E d )dd . Обратно, если x ∈ E ddd , то x
дизъюнктен к E dd ⊇ E и значит x дизъюнктен к E, x ∈ E d . 4). Для любого
x ∈ E неравенство y ′ ≤ x′ влечет y ′ ∧ x ≤ x′ ∧ x = 0. Обратно, пусть y ′ ∈ E d .
Тогда ∀x ∈ E(x ∧ y ′ = 0) влечет x = x ∧ (y ∨ y ′ ) = x ∧ y, x ≤ y . 5). По теореме
6.6. y ∧ sup E = sup(y ∧ E) = 0 для любого y ∈ E d . 6). Пусть x, y ∈ E d .
Тогда ∀z ∈ E(z ∧ (x ∨ y) = (z ∧ x) ∨ (z ∧ y) = 0) и, следовательно, x ∨ y ∈ E d .

                                          37