От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

7). Пусть y ∈ X
d
a
. Так как a ∈ X
a
, то y ∧ a = 0. Поэтому y ≤ a
′
, X
d
a
⊆ X
a
′
.
Обратно, если z ≤ a
′
, то z ∧ a ≤ a
′
∧ a = 0, z ∈ X
d
a
. 8). Если y ∈ E , то
x
′
∧ y ≤ x
′
∧ x = 0, x
′
∈ E
d
. Так как x
′
наибольший элемент, дизъюнктный
к x, то z ∈ E
d
⇒ z∧ = 0 ⇒ z ≤ x
′
, x
′
∈ (E
d
)
s
. Итак, x
′
∈ E
ds
∩ E
d
, то есть
x
′
= sup E
d
. 9). E
1
⊆ E
d
⇒ E ⊆ E
dd
⊆ E
d
1
. Поэтому для любого x ∈ E ⊆ E
d
1
по теореме 6.6. x ∧ sup E
1
= sup(x ∧ E
1
) = 0. Это влечет sup E
1
∈ E
d
. 10).
∀E ∈ E(x ∧ E = 0) ⇔ x ∧
∪
E∈E
E = 0.
9.3. Лемма. y = sup E ⇔ y
′
∈ E
d
и y ∈ E
dd
.
Доказательство. Необходимость. В силу свойства 5) y = sup E ∈ E
dd
. В
силу 8) y
′
= sup E
d
. Тогда по теореме 6.6. x ∧ sup E
d
= sup(x ∧ E
d
) = 0 для
любого x ∈ E . Поэтому y
′
∈ E
d
.
Достаточность. Если y
′
∈ E
d
, то в силу свойства 4) y ∈ E
s
. Пусть z ∈ E
s
.
Снова по 4) z
′
∈ E
d
. По условию y ∈ E
dd
; это влечет y ∧ z
′
= 0, y ≤ z . Итак,
y – наименьшая из верхних границ множества E , то есть y = sup E .
9.4. Часть E б.а X называется компонентой, если E = E
dd
. Примерами
компонент являются E
d
и X
a
(следует из свойства 3) и 7)). Компонента
является идеалом (свойство 6)).
Пусть {E
i
} – семейство компонент. В силу свойства 10) ∩E
i
= ∩E
dd
i
=
(∪E
d
i
)
d
также является компонентой. Следовательно, для любой части F ⊂
X существует наименьшая по включению компонента содержащая F . Она
обозначается X
F
. Очевидно, что J(F ) ⊆ X
F
.
9.5. Лемма. X
{a
1
,...,a
n
}
= X
a
1
∨...∨a
n
; X
F
= F
dd
.
Доказательство. Так как X
{a
1
,...,a
n
}
⊃ {a
1
, ..., a
n
}, то a
i
∈ X
{a
1
,...,a
n
}
(i =
1, ..., n). Но X
{a
1
,...,a
n
}
идеал, следовательно, a
1
∨ ... ∨ a
n
∈ X
{a
1
,...,a
n
}
и
X
a
1
∨...∨a
n
⊂ X
{a
1
,...,a
n
}
. С другой стороны, X
a
1
∨...∨a
n
компонента, содержащая
множество {a
1
, ..., a
n
}. Значит X
a
1
∨...∨a
n
содержит наименьшую компоненту
X
{a
1
,...,a
n
}
.
Так как F ⊆ F
dd
, а F
dd
компонента, то X
F
⊂ F
dd
. По свойству 2) F ⊂
X
F
⇒ F
dd
⊂ X
dd
F
= X
F
.
38
7). Пусть y ∈ Xad . Так как a ∈ Xa , то y ∧ a = 0. Поэтому y ≤ a′ , Xad ⊆ Xa′ .
Обратно, если z ≤ a′ , то z ∧ a ≤ a′ ∧ a = 0, z ∈ Xad . 8). Если y ∈ E , то
x′ ∧ y ≤ x′ ∧ x = 0, x′ ∈ E d . Так как x′ наибольший элемент, дизъюнктный
к x, то z ∈ E d ⇒ z∧ = 0 ⇒ z ≤ x′ , x′ ∈ (E d )s . Итак, x′ ∈ E ds ∩ E d , то есть
x′ = sup E d . 9). E1 ⊆ E d ⇒ E ⊆ E dd ⊆ E1d . Поэтому для любого x ∈ E ⊆ E1d
по теореме 6.6. x ∧ sup E1 = sup(x ∧ E1 ) = 0. Это влечет sup E1 ∈ E d . 10).
                           ∪
∀E ∈ E(x ∧ E = 0) ⇔ x ∧      E = 0.
                               E∈E

   9.3. Лемма. y = sup E ⇔ y ′ ∈ E d и y ∈ E dd .

   Доказательство. Необходимость. В силу свойства 5) y = sup E ∈ E dd . В
силу 8) y ′ = sup E d . Тогда по теореме 6.6. x ∧ sup E d = sup(x ∧ E d ) = 0 для
любого x ∈ E . Поэтому y ′ ∈ E d .
   Достаточность. Если y ′ ∈ E d , то в силу свойства 4) y ∈ E s . Пусть z ∈ E s .
Снова по 4) z ′ ∈ E d . По условию y ∈ E dd ; это влечет y ∧ z ′ = 0, y ≤ z . Итак,
y – наименьшая из верхних границ множества E , то есть y = sup E . 

   9.4. Часть E б.а X называется компонентой, если E = E dd . Примерами
компонент являются E d и Xa (следует из свойства 3) и 7)). Компонента
является идеалом (свойство 6)).
   Пусть {Ei } – семейство компонент. В силу свойства 10) ∩Ei = ∩Eidd =
(∪Eid )d также является компонентой. Следовательно, для любой части F ⊂
X существует наименьшая по включению компонента содержащая F . Она
обозначается XF . Очевидно, что J(F ) ⊆ XF .
   9.5. Лемма. X{a1 ,...,an } = Xa1 ∨...∨an ;    XF = F dd .
   Доказательство. Так как X{a1 ,...,an } ⊃ {a1 , ..., an }, то ai ∈ X{a1 ,...,an } (i =
1, ..., n). Но X{a1 ,...,an } идеал, следовательно, a1 ∨ ... ∨ an ∈ X{a1 ,...,an } и
Xa1 ∨...∨an ⊂ X{a1 ,...,an } . С другой стороны, Xa1 ∨...∨an компонента, содержащая
множество {a1 , ..., an }. Значит Xa1 ∨...∨an содержит наименьшую компоненту
X{a1 ,...,an } .
   Так как F ⊆ F dd , а F dd компонента, то XF ⊂ F dd . По свойству 2) F ⊂
XF ⇒ F dd ⊂ XFdd = XF . 

                                            38

Страницы