От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

того, что w > 0 имеем w ̸∈ (E
1
∪ E
2
)
d
. Поэтому найдется v ∈ E
1
∪ E
2
такой,
что 0 < v ∧ w = t. Так как множество E
1
∪ E
2
наследственно, то t ∈ E
1
∪ E
2
;
так как E
3
, B
d
идеалы, то t ∈ E
3
, t ∈ B
d
. Итак, 0 < t ∈ (E
1
∪ E
2
) ∩ E
3
и
t ∈ B
d
= [(E
1
∪ E
2
) ∩ E
3
]
d
. Это противоречит свойству 1) пункта 9.2.
33
◦
. Привести пример б.а X и идеала E в X такого, что E ̸= E
dd
.
§10. Полные булевы алгебры
10.1. Напомним, что б.а X называется полной, если ∀E ⊂ X(sup E ∈
X, inf E ∈ X). В полной б.а любая компонента есть главный идеал. Дей-
ствительно, если F компонента, то для a = sup F по предложению 9.6
F = X
F
= X
a
.
Компакт Q называется экстремальным, если замыкание любого открыто-
го в Q множества является открытым.
10.2. Теорема (Стоун – Огасавара). Булева алгебра X полна тогда и
только тогда, когда ее стоуновский компакт Q экстремален.
Доказательство. Необходимость. Пусть X – полная б.а, G ⊂ Q и G –
открыто. Так как Q вполне несвязно, то G = ∪E
i
, где все E
i
являют-
ся открыто-замкнутыми. Пусть φ – стоуновский изоморфизм и e
i
∈ X те
элементы, что φ(e
i
) = E
i
. Положим x = ∨e
i
и покажем, что φ(x) = G
−
.
Из неравенств x ≥ e
i
следует, что φ(x) ⊃ φ(e
i
) = E
i
, φ(x) ⊃ ∪E
i
= G.
Но φ(x) открыто-замкнуто, значит φ(x) ⊃ G
−
. Далее φ(x)\G
−
– открыто и
если оно не пусто, то найдется непустое открыто-замкнутое множество G
1
⊂
φ(x)\G
−
. Пусть x
1
∈ X такой, что φ(x
1
) = G
1
. Так как E
i
⊂ G ⊂ G
−
⊂
φ(x)\G
1
, то e
i
≤ x ∧ x
′
1
< x. Это влечет x = ∨e
i
≤ x ∧ x
′
1
< x. Противоречие.
Достаточность. Пусть e
i
∈ X и φ(e
i
) = E
i
– открыто-замкнуты. Положим
G = ∪E
i
. Это множество открыто и по условию G
−
также открыто, а как
замыкание, оно одновременно замкнуто. Пусть e ∈ X такой, что φ(e) = G
−
.
40
того, что w > 0 имеем w ̸∈ (E1 ∪ E2 )d . Поэтому найдется v ∈ E1 ∪ E2 такой,
что 0 < v ∧ w = t. Так как множество E1 ∪ E2 наследственно, то t ∈ E1 ∪ E2 ;
так как E3 , B d идеалы, то t ∈ E3 , t ∈ B d . Итак, 0 < t ∈ (E1 ∪ E2 ) ∩ E3 и
t ∈ B d = [(E1 ∪ E2 ) ∩ E3 ]d . Это противоречит свойству 1) пункта 9.2. 

33 ◦ . Привести пример б.а X и идеала E в X такого, что E ̸= E dd .




                      §10. Полные булевы алгебры


  10.1. Напомним, что б.а X называется полной, если ∀E ⊂ X(sup E ∈
X, inf E ∈ X). В полной б.а любая компонента есть главный идеал. Дей-
ствительно, если F компонента, то для a = sup F по предложению 9.6
F = XF = Xa .
  Компакт Q называется экстремальным, если замыкание любого открыто-
го в Q множества является открытым.

  10.2. Теорема (Стоун – Огасавара). Булева алгебра X полна тогда и
только тогда, когда ее стоуновский компакт Q экстремален.

  Доказательство. Необходимость. Пусть X – полная б.а, G ⊂ Q и G –
открыто. Так как Q вполне несвязно, то G = ∪Ei , где все Ei являют-
ся открыто-замкнутыми. Пусть φ – стоуновский изоморфизм и ei ∈ X те
элементы, что φ(ei ) = Ei . Положим x = ∨ei и покажем, что φ(x) = G− .
  Из неравенств x ≥ ei следует, что φ(x) ⊃ φ(ei ) = Ei , φ(x) ⊃ ∪Ei = G.
Но φ(x) открыто-замкнуто, значит φ(x) ⊃ G− . Далее φ(x)\G− – открыто и
если оно не пусто, то найдется непустое открыто-замкнутое множество G1 ⊂
φ(x)\G− . Пусть x1 ∈ X такой, что φ(x1 ) = G1 . Так как Ei ⊂ G ⊂ G− ⊂
φ(x)\G1 , то ei ≤ x ∧ x′1 < x. Это влечет x = ∨ei ≤ x ∧ x′1 < x. Противоречие.
  Достаточность. Пусть ei ∈ X и φ(ei ) = Ei – открыто-замкнуты. Положим
G = ∪Ei . Это множество открыто и по условию G− также открыто, а как
замыкание, оно одновременно замкнуто. Пусть e ∈ X такой, что φ(e) = G− .

                                      40

Страницы