От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Тогда из E
i
⊂ G ⊂ G
−
следует, что e
i
≤ e. Если e
i
≤ z , то φ(e
i
) ⊂ φ(z)
и φ(z) открыто-замкнуто. Значит G = ∪E
i
⊂ φ(z) и G
−
⊂ φ(z)
−
= φ(z).
Итак, e ≤ z, e = ∨e
i
.
Вторую часть этого параграфа мы посвятим исследованию регулярных
множеств в топологическом пространстве. Мы построим из них две (изоморф-
ные) полные б.а, не сводящиеся к алгебрам множеств.
10.3. Пусть T – топологическое пространство. Открытое множество U (со-
отв. замкнутое множество F ) называется регулярным, если U = U
−◦
(соотв.
F = F
◦−
). Здесь
−
) – оператор замыкания,
◦
) – оператор внутренности.
Семейство всех регулярных открытых множеств обозначим через U , семей-
ство всех регулярных замкнутых множеств обозначим через F . В следующем
предложении приведем основные и легко проверяемые свойства операторов
замыкания и внутренности.
10.4. Предложение. Пусть A, B ⊂ T . Тогда
1) операторы
−
),
◦
) идемпотентны; 2) ∅
−
= ∅, T
◦
= T ;
3) (A ∪ B)
−
= A
−
∪ B
−
, (A ∩ B)
◦
= A
◦
∩ B
◦
; 4) A
◦
⊆ A ⊆ A
−
.
В частности из 3) следует, что
−
) и
◦
) являются неубывающими операто-
рами: A ⊆ B ⇒ A
−
⊆ B
−
, A
◦
⊆ B
◦
. Обозначим A
c
= T \A.
10.5. Лемма. Пусть A ⊂ T . Тогда
1) A
−◦−◦
= A
−◦
, A
◦−◦−
= A
◦−
; 2) A
−
= A
c◦c
, A
◦
= A
c−c
.
Доказательство. 1). Из A
−◦
⊆ (A
−◦
)
−
следует A
−◦
= A
−◦◦
⊆ A
−◦−◦
. Из
A
−◦
⊆ A
−
следует A
−◦−
⊆ A
−
, A
−◦−◦
⊆ A
−◦
. Аналогично, (A
◦−
)
◦
⊆ A
◦−
влечет A
◦−◦−
⊆ A
◦−
, а включение A
◦
⊆ A
◦−
дает A
◦
= A
◦◦
⊆ A
◦−◦
, A
◦−
⊆
A
◦−◦−
.
2). Включение A ⊆ A
−
влечет A
c
⊇ A
−c
, A
c◦
⊇ A
−c◦
= A
−c
поскольку A
−c
является открытым множеством. С другой стороны, из A
c◦
⊆ A
c
следует,
что A
c◦c
⊇ A. Так как A
c◦c
замкнуто, то A
c◦c
⊇ A
−
или A
c◦
⊆ A
−c
. Итак,
A
c◦
= A
−
, A
−
= A
c◦c
, (A
c
)
◦
= (A
c
)
c−c
.
Лемма 10.5. показывает, что из множества A, чередуя опера-
41
Тогда из Ei ⊂ G ⊂ G− следует, что ei ≤ e. Если ei ≤ z , то φ(ei ) ⊂ φ(z)
и φ(z) открыто-замкнуто. Значит G = ∪Ei ⊂ φ(z) и G− ⊂ φ(z)− = φ(z).
Итак, e ≤ z, e = ∨ei . 
  Вторую часть этого параграфа мы посвятим исследованию регулярных
множеств в топологическом пространстве. Мы построим из них две (изоморф-
ные) полные б.а, не сводящиеся к алгебрам множеств.

  10.3. Пусть T – топологическое пространство. Открытое множество U (со-
отв. замкнутое множество F ) называется регулярным, если U = U −◦ (соотв.
F = F ◦− ). Здесь    −
                         ) – оператор замыкания, ◦ ) – оператор внутренности.
Семейство всех регулярных открытых множеств обозначим через U , семей-
ство всех регулярных замкнутых множеств обозначим через F . В следующем
предложении приведем основные и легко проверяемые свойства операторов
замыкания и внутренности.

  10.4. Предложение. Пусть A, B ⊂ T . Тогда
1) операторы − ),   ◦
                        ) идемпотентны; 2) ∅− = ∅, T ◦ = T ;
3) (A ∪ B)− = A− ∪ B − , (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B ◦ ; 4) A◦ ⊆ A ⊆ A− .
  В частности из 3) следует, что − ) и ◦ ) являются неубывающими операто-
рами: A ⊆ B ⇒ A− ⊆ B − , A◦ ⊆ B ◦ . Обозначим Ac = T \A.

  10.5. Лемма. Пусть A ⊂ T . Тогда
  1) A−◦−◦ = A−◦ , A◦−◦− = A◦− ;         2) A− = Ac◦c ,   A◦ = Ac−c .

  Доказательство. 1). Из A−◦ ⊆ (A−◦ )− следует A−◦ = A−◦◦ ⊆ A−◦−◦ . Из
A−◦ ⊆ A− следует A−◦− ⊆ A− , A−◦−◦ ⊆ A−◦ . Аналогично, (A◦− )◦ ⊆ A◦−
влечет A◦−◦− ⊆ A◦− , а включение A◦ ⊆ A◦− дает A◦ = A◦◦ ⊆ A◦−◦ , A◦− ⊆
A◦−◦− .
  2). Включение A ⊆ A− влечет Ac ⊇ A−c , Ac◦ ⊇ A−c◦ = A−c поскольку A−c
является открытым множеством. С другой стороны, из Ac◦ ⊆ Ac следует,
что Ac◦c ⊇ A. Так как Ac◦c замкнуто, то Ac◦c ⊇ A− или Ac◦ ⊆ A−c . Итак,
Ac◦ = A− , A− = Ac◦c , (Ac )◦ = (Ac )c−c . 
  Лемма    10.5.    показывает,    что    из   множества     A,   чередуя   опера-

                                          41

Страницы