От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. 1). Пусть U ∈ U . Тогда в силу леммы 10.5. U
c◦−
= U
−−
=
(U
−
)
c−
= U
−◦c
= U
c
. Если U
c
∈ F , то U
c
= U
c◦−
= U
−c−
или U = U
−c−c
=
U
−◦
.
2). Пусть U ∈ U, F ∈ F . Тогда (U
−
)
◦−
= (U
−◦
)
−
= U
−
, (F
◦
)
−◦
= (F
◦−
)
◦
=
F
◦
.
3). Достаточно доказать для n = 2. Из включений U
1
∩ U
2
⊆ U
i
(i = 1, 2)
следует, что (U
1
∩ U
2
)
−◦
⊆ U
−◦
i
= U
i
, (U
1
∩ U
2
)
−◦
⊆ (U
1
∩ U
2
). С другой
стороны, U
1
∩ U
2
⊆ (U
1
∩ U
2
)
−
, а так как множество U
1
∩ U
2
открыто, то
U
1
∩ U
2
⊆ (U
1
∩ U
2
)
−◦
. Итак, U
1
∩ U
2
= (U
1
∩ U
2
)
−◦
. Аналогично, из F
i
⊆
F
1
∪ F
2
(i = 1, 2) следует F
i
= F
◦−
i
⊆ (F
1
∪ F
2
)
◦−
, F
1
∪ F
2
⊆ (F
1
∪ F
2
)
◦−
. Далее
(F
1
∪ F
2
)
◦
⊆ F
1
∪ F
2
и так как F
1
∪ F
2
замкнуто, то (F
1
∪ F
2
)
◦−
⊆ F
1
∪ F
2
.
Следовательно, (F
1
∪ F
2
)
◦−
= F
1
∪ F
2
.
10.8. Множество N в топологическом пространстве T называется нигде
не плотным, если N
−◦
= ∅. Семейство N всех нигде не плотных подмно-
жеств T является идеалом в б.а P(T ) всех подмножеств T . Действительно,
наследственность N очевидна. Если же N
i
∈ N (i = 1, 2), то в силу леммы
10.5. (N
1
∪ N
2
)
−◦
= (N
−
1
∪ N
−
2
)
c−c
= (N
−c
1
∩ N
−c
2
)
−c
= (N
−c
1
∩ N
−c−
2
)
−c
=
(N
−
1
∪ N
−c−c
2
)
c−c
= (N
−
1
∪ N
−◦
2
)
c−c
= N
−c−c
1
= N
−◦
1
= ∅. Здесь в третьем ра-
венстве мы использовали равенство 2) леммы 10.6, взяв в качестве U = N
−c
1
и A = N
−c
2
.
Покажем, что N ∩ U = N ∩ F = {∅}. Действительно, если открытое
множество U ̸= ∅, то в силу включения U ⊂ U
−◦
следует U ̸∈ N . Если
же F ∈ N ∩ F , то ∅ = F
−◦
= (F
◦−
)
−◦
= F
◦−◦
⊃ F
◦
. Следовательно,
F
◦
= ∅, F = F
◦−
= ∅.
Говорят, что множество A эквивалентно множеству B (A ∼ B) по идеалу
N , если A∆B = (A\B) ∪ (B\A) ∈ N . Очевидно, это отношение рефлек-
сивно и симметрично, а в силу включения A∆C ⊆ (A∆B) ∪ (B∆C), оно
транзитивно. Покажем, что если U ∈ U, F ∈ F , то U
−
∼ U, F ∼ F
◦
.
Действительно, множество U
−
∆U = U
−
\U = U
−
∩ U
c
замкнуто. Поэтому
(U
−
∆U)
−◦
= (U
−
∩ U
c
)
◦
= U
−◦
∩ U
c◦
= U ∩ U
c◦
= U ∩ U
−c
⊆ U
−
∩ U
−c
= ∅.
43
  Доказательство. 1). Пусть U ∈ U . Тогда в силу леммы 10.5. U c◦− = U −− =
(U − )c− = U −◦c = U c . Если U c ∈ F , то U c = U c◦− = U −c− или U = U −c−c =
U −◦ .
  2). Пусть U ∈ U, F ∈ F . Тогда (U − )◦− = (U −◦ )− = U − , (F ◦ )−◦ = (F ◦− )◦ =
F◦.
  3). Достаточно доказать для n = 2. Из включений U1 ∩ U2 ⊆ Ui (i = 1, 2)
следует, что (U1 ∩ U2 )−◦ ⊆ Ui−◦ = Ui , (U1 ∩ U2 )−◦ ⊆ (U1 ∩ U2 ). С другой
стороны, U1 ∩ U2 ⊆ (U1 ∩ U2 )− , а так как множество U1 ∩ U2 открыто, то
U1 ∩ U2 ⊆ (U1 ∩ U2 )−◦ . Итак, U1 ∩ U2 = (U1 ∩ U2 )−◦ . Аналогично, из Fi ⊆
F1 ∪ F2 (i = 1, 2) следует Fi = Fi◦− ⊆ (F1 ∪ F2 )◦− , F1 ∪ F2 ⊆ (F1 ∪ F2 )◦− . Далее
(F1 ∪ F2 )◦ ⊆ F1 ∪ F2 и так как F1 ∪ F2 замкнуто, то (F1 ∪ F2 )◦− ⊆ F1 ∪ F2 .
Следовательно, (F1 ∪ F2 )◦− = F1 ∪ F2 . 
  10.8. Множество N в топологическом пространстве T называется нигде
не плотным, если N −◦ = ∅. Семейство N всех нигде не плотных подмно-
жеств T является идеалом в б.а P(T ) всех подмножеств T . Действительно,
наследственность N очевидна. Если же Ni ∈ N (i = 1, 2), то в силу леммы
10.5. (N1 ∪ N2 )−◦ = (N1− ∪ N2− )c−c = (N1−c ∩ N2−c )−c = (N1−c ∩ N2−c− )−c =
(N1− ∪ N2−c−c )c−c = (N1− ∪ N2−◦ )c−c = N1−c−c = N1−◦ = ∅. Здесь в третьем ра-
венстве мы использовали равенство 2) леммы 10.6, взяв в качестве U = N1−c
и A = N2−c .
  Покажем, что N ∩ U = N ∩ F = {∅}. Действительно, если открытое
множество U ̸= ∅, то в силу включения U ⊂ U −◦ следует U ̸∈ N . Если
же F ∈ N ∩ F , то ∅ = F −◦ = (F ◦− )−◦ = F ◦−◦ ⊃ F ◦ . Следовательно,
F ◦ = ∅, F = F ◦− = ∅.
  Говорят, что множество A эквивалентно множеству B (A ∼ B) по идеалу
N , если A∆B = (A\B) ∪ (B\A) ∈ N . Очевидно, это отношение рефлек-
сивно и симметрично, а в силу включения A∆C ⊆ (A∆B) ∪ (B∆C), оно
транзитивно. Покажем, что если U ∈ U , F ∈ F , то U − ∼ U, F ∼ F ◦ .
Действительно, множество U − ∆U = U − \U = U − ∩ U c замкнуто. Поэтому
(U − ∆U )−◦ = (U − ∩ U c )◦ = U −◦ ∩ U c◦ = U ∩ U c◦ = U ∩ U −c ⊆ U − ∩ U −c = ∅.

                                        43

Страницы