От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 42 стр.

       −
торы       ), ◦ )   можно получить (включая       A) не более 7 множеств:
{A, A◦ , A− , A◦− , A−◦ A◦−◦ , A−◦− }. При этом       A−◦ , A◦−◦     ∈      U,    а
A◦− , A−◦− ∈ F .

  10.6. Лемма. Пусть U – открытое, F – замкнутое множества в то-
пологическом пространстве T . Тогда для любых подмножеств A, B в T
справедливы утверждения:
  1) A− \B − ⊆ (A\B)− , 2) (U ∩ A)− = (U ∩ A− )− , 3) (F ∪ B ◦ )◦ = (F ∪ B)◦ .
  Доказательство. 1). В силу леммы 10.5. A− \B − = A− ∩ B −c = A− ∩
(B c◦c )c = A− ∩ B c◦ . Через U (a) будем обозначать окрестность точки a. По
определению замыкания

                         a ∈ A− ⇔ ∀U (a) (U (a) ∩ A ̸= ∅).                       (3)

  Пусть z ∈ A− ∩ B c◦ . Так как z ∈ B c◦ , а множество B c◦ открыто, то
B c◦ является окрестностью точки z . Пусть U (z) – произвольная окрестность
точки z . Тогда множество U (z) ∩ B c◦ также является окрестностью z . Так
как z ∈ A− , то в силу (3) имеем ∅ ̸= (U (z) ∩ B c◦ ) ∩ A ⊆ U (z) ∩ (B c ∩ A) =
U (z) ∩ (A\B). Снова в силу (3) z ∈ (A\B)− .
  2). Так как U ∩ A ⊆ U ∩ A− , то (U ∩ A)− ⊆ (U ∩ A− )− . В силу леммы
10.5. U = U ◦ = U c−c и используя первое утверждение доказываемой леммы,
получим

              U ∩ A− = U c−c ∩ A− = A− \U c− ⊆ (A\U c )− = (A ∩ U )− .           (4)

Значит (U ∩ A− )− ⊆ (A ∩ U )− и 2) доказано.
  3). В силу леммы 10.5. и доказанного пункта 2) настоящей леммы, имеем
(F ∪ B ◦ )◦ = (F ∪ B c−c )c−c = (F c ∩ B c− )−c = (F c ∩ B c )−c = (F ∪ B)c−c =
(F ∪ B)◦ .

  10.7. Предложение. Справедливы утверждения:
1) U ∈ U ⇔ U c ∈ F , F ∈ F ⇔ F c ∈ U ;
2) U ∈ U ⇒ U − ∈ F , F ∈ F ⇒ F ◦ ∈ U ;
3) Ui ∈ U, Fi ∈ F(i = 1, ..., n) ⇒ U1 ∩ ... ∩ Un ∈ U, F1 ∪ ... ∪ Fn ∈ F ;

                                         42