От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Аналогично, множество F ∆F
◦
= F\F
◦
= F ∩ F
◦c
замкнуто и (F ∆F
◦
)
−◦
=
(F ∩ F
◦c
)
◦
= F
◦
∩ F
◦c◦
= F
◦
∩ (F
◦
)
c◦
= F
◦
∩ F
◦−c
= F
◦
∩ F
c
⊆ F ∩ F
c
= ∅.
10.9. Примером нигде не плотного множества является канторовское мно-
жество C =
∞
∩
n=1
F
n
на отрезке [0; 1]. Множество F
1
получено из [0; 1] вы-
брасыванием серединного интервала (
1
3
;
2
3
) : F
1
= [0;
1
3
] ∪ [
2
3
; 1]. Множество
F
2
– выбрасыванием из F
1
двух соответствующих серединных интервалов:
F
2
= [0;
1
3
2
] ∪ [
2
3
2
;
3
3
2
] ∪ [
6
3
2
;
7
3
2
] ∪ [
8
3
2
;
9
3
2
] и так далее. Таким образом,
F
n
=
2
n
∪
k=1
[
a
k
3
n
;
a
k
+ 1
3
n
]
,
где числа {a
k
: k = 1, ..., 2
n
} ≡ J
n
содержатся в множестве {0, 1, ..., 3
n
− 1}.
Множество C замкнуто (так как все множества F
n
замкнуты) и значит
компактно. Оно имеет меру µ(C) = 0 так как µ(C) ≤ µ(F
n
) = (
2
3
)
n
. Сле-
довательно, C не может содержать никакой интервал (a; b), b > a и значит
C
−◦
= ∅. Множество C несчетно, так как любое число x ∈ C представимо в
виде ряда
x =
∞
∑
k=1
x
k
3
k
, x
k
∈ {0, 2}.
Покажем, что C не имеет изолированных точек: для любого x ∈ C и лю-
бой U(x) окрестности этой точки (U(x)\{x}) ∩ C ̸= ∅. Действительно, пусть
U(x) = (x − ε; x + ε) и число n такое, что
1
3
n
< ε. Так как x ∈ F
n
, то суще-
ствует k ∈ {1, 2, ..., 2
n
} такое, что x ∈ [
a
k
3
n
;
a
k
+1
3
n
]. В силу неравенства ε >
1
3
n
имеем
a
k
3
n
∈ U(x),
a
k
+1
3
n
∈ U(x). Но при любом n числа
a
k
3
n
,
a
k
+1
3
n
лежат в C .
Следовательно, любая окрестность U(x) содержит точку из C отличную от
x. Если обозначить через A
′
множество всех предельных точек множества
A, то для канторовского множества мы получили C
′
= C . (множества с таким
свойством в топологическом пространстве называются совершенными).
Множество C c индуцированной из R топологией τ
C
является вполне
несвязным отделимым компактом. Семейство множеств
[
a
k
3
n
;
a
k
+ 1
3
n
]
∩ C, a
k
∈ J
n
, n ∈ N
44
Аналогично, множество F ∆F ◦ = F \F ◦ = F ∩ F ◦c замкнуто и (F ∆F ◦ )−◦ =
(F ∩ F ◦c )◦ = F ◦ ∩ F ◦c◦ = F ◦ ∩ (F ◦ )c◦ = F ◦ ∩ F ◦−c = F ◦ ∩ F c ⊆ F ∩ F c = ∅.
 10.9. Примером нигде не плотного множества является канторовское мно-
           ∩
           ∞
жество C =    Fn на отрезке [0; 1]. Множество F1 получено из [0; 1] вы-
                  n=1
брасыванием серединного интервала ( 13 ; 23 ) : F1 = [0; 13 ] ∪ [ 23 ; 1]. Множество
F2 – выбрасыванием из F1 двух соответствующих серединных интервалов:
F2 = [0; 312 ] ∪ [ 322 ; 332 ] ∪ [ 362 ; 372 ] ∪ [ 382 ; 392 ] и так далее. Таким образом,
                                          2 [
                                          ∪
                                                n       ]
                                              ak ak + 1
                                     Fn =       ;         ,
                                              3n 3n
                                             k=1

где числа {ak : k = 1, ..., 2n } ≡ Jn содержатся в множестве {0, 1, ..., 3n − 1}.
  Множество C замкнуто (так как все множества Fn замкнуты) и значит
компактно. Оно имеет меру µ(C) = 0 так как µ(C) ≤ µ(Fn ) = ( 23 )n . Сле-
довательно, C не может содержать никакой интервал (a; b), b > a и значит
C −◦ = ∅. Множество C несчетно, так как любое число x ∈ C представимо в
виде ряда
                                          ∞
                                          ∑ xk
                                    x=               , xk ∈ {0, 2}.
                                                3k
                                          k=1
  Покажем, что C не имеет изолированных точек: для любого x ∈ C и лю-
бой U (x) окрестности этой точки (U (x)\{x}) ∩ C ̸= ∅. Действительно, пусть
U (x) = (x − ε; x + ε) и число n такое, что                        3n < ε. Так как x ∈ Fn , то суще-
                                                                    1

ствует k ∈ {1, 2, ..., 2n } такое, что x ∈                [ 3ank ; ak3+1                           1
                                                                      n ]. В силу неравенства ε > 3n


имеем    ak
         3n   ∈ U (x),   ak +1
                          3n     ∈ U (x). Но при           любом n числа 3ank , ak3+1  n  лежат в C .
Следовательно, любая окрестность U (x) содержит точку из C отличную от
x. Если обозначить через A′ множество всех предельных точек множества
A, то для канторовского множества мы получили C ′ = C . (множества с таким
свойством в топологическом пространстве называются совершенными).
  Множество C c индуцированной из R топологией τC является вполне
несвязным отделимым компактом. Семейство множеств
                   [           ]
                     ak ak + 1
                       ;         ∩ C, ak ∈ Jn , n ∈ N
                     3n 3n
                                                     44

Страницы