ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10.11. Теорема. В упорядоченном по включению множестве F поло-
жим F
′
= F
c−
. Тогда (F, ⊆,
′
, ∅, T) есть полная булева алгебра, изоморф-
ная булевой алгебре U . Изоморфизм осуществляют отображения φ(U) =
U
−
, φ
−1
(F ) = F
◦
(U ∈ U, F ∈ F).
Доказательство. Как в теореме 10.10 показывается, что ∨F
i
= (∪F
i
)
◦−
и
∧F
i
= (∩F
i
)
◦−
. В силу 3) предложения 10.7, для любого конечного семейства
{F
i
: i = 1, 2, ..., n} справедливо F
1
∨ ... ∨ F
n
= F
1
∪ ... ∪ F
n
.
Таким образом, F – полная решетка. Покажем, что U
1
⊆ U
2
⇔ φ(U
1
) ⊆
φ(U
2
) (отсюда, в частности следует инъективность φ). Действительно, U
1
⊆
U
2
⇒ U
−
1
⊆ U
−
2
. Обратно, если U
−
1
⊆ U
−
2
, то U
1
= U
−◦
1
⊆ U
−◦
2
= U
2
.
Если F ∈ F , то в силу предложения 10.7 F
◦
∈ U и φ(F
◦
) = F
◦−
= F .
Это означает, что φ является биекцией. Поскольку порядковый изоморфизм
решеток сохраняет операции ∨, ∧, то F дистрибутивна.
Наконец установим, что множество F
c−
является дополнением к F . В силу
предложения 10.7, F ∧ F
c−
= (F ∩ F
c−
)
◦−
= (F
◦
∩ F
c−◦
)
−
= (F
◦
∩ F
c
)
−
=
∅; F ∨ F
c−
= F ∪ F
c−
= (F ∪ F
c
)
−
= T .
Итак, F полная булева алгебра изоморфная U .
34
◦
. Обозначим G(A) = {A, A
◦
, A
−
, A
◦−
, A
−◦
, A
◦−◦
, A
−◦−
}. Постройте на пря-
мой множества A
k
, для которых card G(A
k
) = k (k = 1, 2, ..., 7).
35
◦
. Найдите min card T , где минимум берется по всем топологическим про-
странствам T , в которых найдется множество A, имеющее card G(A) = 7.
§11. Операции над булевыми алгебрами
11.1. Главный идеал X
a
в б.а X можно рассматривать как б.а, в кото-
рой операции ∨, ∧, индуцируются из X , а дополнение к b ∈ X
a
задается
формулой b
θ
= b
′
∧ a. Единицей в X
a
является элемент a и b ∨ b
θ
= a (см.
26
◦
).
46
10.11. Теорема. В упорядоченном по включению множестве F поло- ′ жим F ′ = F c− . Тогда (F, ⊆, , ∅, T ) есть полная булева алгебра, изоморф- ная булевой алгебре U . Изоморфизм осуществляют отображения φ(U ) = U − , φ−1 (F ) = F ◦ (U ∈ U, F ∈ F). Доказательство. Как в теореме 10.10 показывается, что ∨Fi = (∪Fi )◦− и ∧Fi = (∩Fi )◦− . В силу 3) предложения 10.7, для любого конечного семейства {Fi : i = 1, 2, ..., n} справедливо F1 ∨ ... ∨ Fn = F1 ∪ ... ∪ Fn . Таким образом, F – полная решетка. Покажем, что U1 ⊆ U2 ⇔ φ(U1 ) ⊆ φ(U2 ) (отсюда, в частности следует инъективность φ). Действительно, U1 ⊆ U2 ⇒ U1− ⊆ U2− . Обратно, если U1− ⊆ U2− , то U1 = U1−◦ ⊆ U2−◦ = U2 . Если F ∈ F , то в силу предложения 10.7 F ◦ ∈ U и φ(F ◦ ) = F ◦− = F . Это означает, что φ является биекцией. Поскольку порядковый изоморфизм решеток сохраняет операции ∨, ∧, то F дистрибутивна. Наконец установим, что множество F c− является дополнением к F . В силу предложения 10.7, F ∧ F c− = (F ∩ F c− )◦− = (F ◦ ∩ F c−◦ )− = (F ◦ ∩ F c )− = ∅; F ∨ F c− = F ∪ F c− = (F ∪ F c )− = T . Итак, F полная булева алгебра изоморфная U . 34 ◦ . Обозначим G(A) = {A, A◦ , A− , A◦− , A−◦ , A◦−◦ , A−◦− }. Постройте на пря- мой множества Ak , для которых card G(Ak ) = k (k = 1, 2, ..., 7). 35 ◦ . Найдите min card T , где минимум берется по всем топологическим про- странствам T , в которых найдется множество A, имеющее card G(A) = 7. §11. Операции над булевыми алгебрами 11.1. Главный идеал Xa в б.а X можно рассматривать как б.а, в кото- рой операции ∨, ∧, индуцируются из X , а дополнение к b ∈ Xa задается формулой bθ = b′ ∧ a. Единицей в Xa является элемент a и b ∨ bθ = a (см. 26 ◦ ). 46
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- …
- следующая ›
- последняя »