От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 46 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

10.11. Теорема. В упорядоченном по включению множестве F поло-
жим F
= F
c
. Тогда (F, ,
, , T) есть полная булева алгебра, изоморф-
ная булевой алгебре U . Изоморфизм осуществляют отображения φ(U) =
U
, φ
1
(F ) = F
(U U, F F).
Доказательство. Как в теореме 10.10 показывается, что F
i
= (F
i
)
◦−
и
F
i
= (F
i
)
◦−
. В силу 3) предложения 10.7, для любого конечного семейства
{F
i
: i = 1, 2, ..., n} справедливо F
1
... F
n
= F
1
... F
n
.
Таким образом, F полная решетка. Покажем, что U
1
U
2
φ(U
1
)
φ(U
2
) (отсюда, в частности следует инъективность φ). Действительно, U
1
U
2
U
1
U
2
. Обратно, если U
1
U
2
, то U
1
= U
−◦
1
U
−◦
2
= U
2
.
Если F F , то в силу предложения 10.7 F
U и φ(F
) = F
◦−
= F .
Это означает, что φ является биекцией. Поскольку порядковый изоморфизм
решеток сохраняет операции , , то F дистрибутивна.
Наконец установим, что множество F
c
является дополнением к F . В силу
предложения 10.7, F F
c
= (F F
c
)
◦−
= (F
F
c−◦
)
= (F
F
c
)
=
; F F
c
= F F
c
= (F F
c
)
= T .
Итак, F полная булева алгебра изоморфная U .
34
. Обозначим G(A) = {A, A
, A
, A
◦−
, A
−◦
, A
◦−◦
, A
−◦−
}. Постройте на пря-
мой множества A
k
, для которых card G(A
k
) = k (k = 1, 2, ..., 7).
35
. Найдите min card T , где минимум берется по всем топологическим про-
странствам T , в которых найдется множество A, имеющее card G(A) = 7.
§11. Операции над булевыми алгебрами
11.1. Главный идеал X
a
в б.а X можно рассматривать как б.а, в кото-
рой операции , , индуцируются из X , а дополнение к b X
a
задается
формулой b
θ
= b
a. Единицей в X
a
является элемент a и b b
θ
= a (см.
26
).
46
   10.11. Теорема. В упорядоченном по включению множестве F поло-
                                  ′
жим F ′ = F c− . Тогда (F, ⊆, , ∅, T ) есть полная булева алгебра, изоморф-
ная булевой алгебре U . Изоморфизм осуществляют отображения φ(U ) =
U − , φ−1 (F ) = F ◦ (U ∈ U, F ∈ F).
   Доказательство. Как в теореме 10.10 показывается, что ∨Fi = (∪Fi )◦− и
∧Fi = (∩Fi )◦− . В силу 3) предложения 10.7, для любого конечного семейства
{Fi : i = 1, 2, ..., n} справедливо F1 ∨ ... ∨ Fn = F1 ∪ ... ∪ Fn .
   Таким образом, F – полная решетка. Покажем, что U1 ⊆ U2 ⇔ φ(U1 ) ⊆
φ(U2 ) (отсюда, в частности следует инъективность φ). Действительно, U1 ⊆
U2 ⇒ U1− ⊆ U2− . Обратно, если U1− ⊆ U2− , то U1 = U1−◦ ⊆ U2−◦ = U2 .
Если F ∈ F , то в силу предложения 10.7 F ◦ ∈ U и φ(F ◦ ) = F ◦− = F .
Это означает, что φ является биекцией. Поскольку порядковый изоморфизм
решеток сохраняет операции ∨, ∧, то F дистрибутивна.
   Наконец установим, что множество F c− является дополнением к F . В силу
предложения 10.7, F ∧ F c− = (F ∩ F c− )◦− = (F ◦ ∩ F c−◦ )− = (F ◦ ∩ F c )− =
∅; F ∨ F c− = F ∪ F c− = (F ∪ F c )− = T .
   Итак, F полная булева алгебра изоморфная U . 

34 ◦ . Обозначим G(A) = {A, A◦ , A− , A◦− , A−◦ , A◦−◦ , A−◦− }. Постройте на пря-
мой множества Ak , для которых card G(Ak ) = k (k = 1, 2, ..., 7).

35 ◦ . Найдите min card T , где минимум берется по всем топологическим про-
странствам T , в которых найдется множество A, имеющее card G(A) = 7.




                 §11. Операции над булевыми алгебрами


   11.1. Главный идеал Xa в б.а X можно рассматривать как б.а, в кото-
рой операции ∨, ∧, индуцируются из X , а дополнение к b ∈ Xa задается
формулой bθ = b′ ∧ a. Единицей в Xa является элемент a и b ∨ bθ = a (см.
26 ◦ ).

                                         46