От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Атомом булевой алгебры X называется любой ее ненулевой минимальный
элемент. Ясно, что любые два атома дизъюнктны.
11.6. Предложение. Пусть невырожденная булева алгебра X конечна.
Тогда существует разбиение единицы Y ⊂ X , состоящее из атомов X , и
такое, что X = a(Y ).
Доказательство. Так как X невырождена, то ∃a ∈ X(0 < a < 1). В силу
конечности X существует атом a
1
≤ a. Тогда 0 < a
′
1
< 1 и в нем найдется
атом a
2
≤ a
′
1
. Если a
1
∨ a
2
= 1, то разбиение Y = {a
1
, a
2
} построено. Если
a
1
∨a
2
< 1, то найдется атом a
3
≤ (a
1
∨a
2
)
′
и так далее. Так как ба X конечна,
то этот процесс через конечное число шагов завершится. Итак, построено
разбиение единицы Y = {a
1
, ..., a
n
}, состоящее из атомов X . Покажем, что
X = a(Y ). Пусть x ∈ X . Тогда x = x∧1 = x∧(∨
n
i=1
a
i
) = ∨
n
i=1
(a
i
∧x). Так как
a
i
- атомы, то a
i
∧ x = 0 или a
i
∧ x = a
i
. Поэтому существует подмножество
J ⊂ {1, ..., n} такое, что x =
∨
j∈J
a
j
∈ a(Y ).
11.7. Следствие. Любые две конечные булевы алгебры одинаковой мощ-
ности изоморфны.
11.8. Фактор-алгебры. Пусть X – б.а, I – собственный идеал. Тогда
отношение x ∼ y ⇔ |x − y| ∈ I является отношением эквивалентности на X .
Это следует из свойств симметрической разности (следствие 8.4). Приведем
другие свойства этого отношения:
11.9. Предложение.Пусть x, y, z, a, b ∈ X . Справедливы утверждения:
1) x ∼ a, y ∼ b ⇒ x
′
∼ a
′
, x ∨ y ∼ a ∨ b, x ∧ y ∼ a ∧ b;
2) x ≤ z ≤ y, x ∼ y ⇒ z ∼ x;
3) a ∼ x, x ≤ y ⇒ ∃b ≥ a (b ∼ y);
4) x ≤ y, y ∼ b ⇒ ∃a ≤ b (a ∼ x);
5) z ∼ x ∨ y ⇔ ∃a ∼ x ∃b ∼ y (z = a ∨ b);
6) z ∼ x ∧ y ⇔ ∃a ∼ x ∃b ∼ y (z = a ∧ b).
Доказательство. 1) Следует из следствия 8.4 пункт 1 и 6.
48
  Атомом булевой алгебры X называется любой ее ненулевой минимальный
элемент. Ясно, что любые два атома дизъюнктны.

  11.6. Предложение. Пусть невырожденная булева алгебра X конечна.
Тогда существует разбиение единицы Y ⊂ X , состоящее из атомов X , и
такое, что X = a(Y ).

  Доказательство. Так как X невырождена, то ∃a ∈ X(0 < a < 1). В силу
конечности X существует атом a1 ≤ a. Тогда 0 < a′1 < 1 и в нем найдется
атом a2 ≤ a′1 . Если a1 ∨ a2 = 1, то разбиение Y = {a1 , a2 } построено. Если
a1 ∨a2 < 1, то найдется атом a3 ≤ (a1 ∨a2 )′ и так далее. Так как ба X конечна,
то этот процесс через конечное число шагов завершится. Итак, построено
разбиение единицы Y = {a1 , ..., an }, состоящее из атомов X . Покажем, что
X = a(Y ). Пусть x ∈ X . Тогда x = x∧1 = x∧(∨ni=1 ai ) = ∨ni=1 (ai ∧x). Так как
ai - атомы, то ai ∧ x = 0 или ai ∧ x = ai . Поэтому существует подмножество
                               ∨
J ⊂ {1, ..., n} такое, что x =   aj ∈ a(Y ).
                               j∈J

  11.7. Следствие. Любые две конечные булевы алгебры одинаковой мощ-
ности изоморфны.

  11.8. Фактор-алгебры. Пусть X – б.а, I – собственный идеал. Тогда
отношение x ∼ y ⇔ |x − y| ∈ I является отношением эквивалентности на X .
Это следует из свойств симметрической разности (следствие 8.4). Приведем
другие свойства этого отношения:

  11.9. Предложение.Пусть x, y, z, a, b ∈ X . Справедливы утверждения:
1) x ∼ a, y ∼ b ⇒ x′ ∼ a′ , x ∨ y ∼ a ∨ b, x ∧ y ∼ a ∧ b;
2) x ≤ z ≤ y, x ∼ y ⇒ z ∼ x;
3) a ∼ x, x ≤ y ⇒ ∃b ≥ a (b ∼ y);
4) x ≤ y, y ∼ b ⇒ ∃a ≤ b (a ∼ x);
5) z ∼ x ∨ y ⇔ ∃a ∼ x ∃b ∼ y (z = a ∨ b);
6) z ∼ x ∧ y ⇔ ∃a ∼ x ∃b ∼ y (z = a ∧ b).

  Доказательство. 1) Следует из следствия 8.4 пункт 1 и 6.


                                       48

Страницы