От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2) В силу 1) x = x ∧ z ∼ y ∧ z = z.
3) Положим b = y ∨ a; тогда b = y ∨ a ∼ y ∨ x = y в силу 1).
4) Положим a = b ∧ x; тогда a = b ∧ x ∼ y ∧ x = x в силу 1).
5) Положим a = x∧z, b = (z∧y)∨(z∧(x∨y)
′
). Тогда в силу дистрибутивности
a ∨ b = (x ∧ z) ∨ (z ∧ y) ∨ (z ∧ (x ∨ y)
′
) = [z ∧ (x ∨ y)] ∨ [z ∧ (x ∨ y)
′
] = z ∧ 1 = z .
Далее |x − a| = x ∧ z
′
≤ (x ∨ y) ∧ z
′
≤ |x ∨ y − z| ∈ I . Аналогично, | b − y| =
(y ∧ z
′
) ∨ (z ∧ (x ∨ y)
′
) ≤ [z
′
∧ (x ∨ y)] ∨ [z ∧ (x ∨ y)
′
] = |x ∨ y − z| ∈ I . Обратное
утверждение следует из 1).
6) Надо положить a = x ∨ z, b = (z ∨ y) ∧ (z ∨ (x ∧ y)
′
).
11.10. В фактор-множестве
˜
X = X/I всех классов эквивалентности ˜x =
{a ∈ X : a ∼ x} введем алгебраические операции
˜x ∨ ˜y = (x ∨ y)
∼
; ˜x ∧ ˜y = (x ∧ y)
∼
; (˜x)
′
= (x
′
)
∼
.
В силу предложения 11.9 эти операции заданы корректно. Нетрудно видеть,
что выполняются аксиомы а1) – а4) и по теореме 6.9
˜
X является ба, в которой
нулем является I , а единицей I
′
= {a
′
: a ∈ I}. Выясним как порядок в
˜
X
связан с порядком в исходной ба X .
11.11. Предложение. Пусть ˜x, ˜y ∈
˜
X . Тогда
˜x ≤ ˜y ⇔ ∃ a ∈ ˜x ∃ b ∈ ˜y (a ≤ b).
Доказательство. По определению порядка имеем ˜x ≤ ˜y ⇔ ˜y = ˜x∨˜y ⇔ ˜x =
˜x∧˜y . Учитывая, что ˜x∧˜y = (x∧y)
∼
, имеем |x−x∧y| = x∧(x∧y
′
) = x∧y
′
∈ I .
Возьмем a = x ∧ y, b = y . Тогда a ≤ b и |a − x| = x ∧ y
′
∈ I , что означает
a ∼ x, b = y ∼ y . Обратно, в силу 1) из предложения 8.9 a = a∧b ∼ x∧y; ˜a =
˜x = (x ∧ y)
∼
= ˜x ∧ ˜y . Следовательно, ˜x ≤ ˜y .
11.12. Определим пространство Стоуна фактор-алгебры X/I через про-
странство Стоуна Q исходной ба X . Пусть φ : X → CO(Q) стоуновский изо-
морфизм. Так как множество φ(x) – открыто-замкнуто, то
∪
x∈I
φ(x) откры-
то, а множество P =
∩
x∈I
φ(x
′
) замкнуто. Следовательно, P является вполне
несвязным компактом. Заметим, что z ∈ I ⇔ φ(z) ⊂ Q\P ⇔ φ(z) ∩ P = ∅.
49
2) В силу 1) x = x ∧ z ∼ y ∧ z = z .
3) Положим b = y ∨ a; тогда b = y ∨ a ∼ y ∨ x = y в силу 1).
4) Положим a = b ∧ x; тогда a = b ∧ x ∼ y ∧ x = x в силу 1).
5) Положим a = x∧z, b = (z∧y)∨(z∧(x∨y)′ ). Тогда в силу дистрибутивности
a ∨ b = (x ∧ z) ∨ (z ∧ y) ∨ (z ∧ (x ∨ y)′ ) = [z ∧ (x ∨ y)] ∨ [z ∧ (x ∨ y)′ ] = z ∧ 1 = z .
Далее |x − a| = x ∧ z ′ ≤ (x ∨ y) ∧ z ′ ≤ |x ∨ y − z| ∈ I . Аналогично, |b − y| =
(y ∧ z ′ ) ∨ (z ∧ (x ∨ y)′ ) ≤ [z ′ ∧ (x ∨ y)] ∨ [z ∧ (x ∨ y)′ ] = |x ∨ y − z| ∈ I . Обратное
утверждение следует из 1).
6) Надо положить a = x ∨ z, b = (z ∨ y) ∧ (z ∨ (x ∧ y)′ ). 

  11.10. В фактор-множестве X̃ = X/I всех классов эквивалентности x̃ =
{a ∈ X : a ∼ x} введем алгебраические операции

                 x̃ ∨ ỹ = (x ∨ y)∼ ; x̃ ∧ ỹ = (x ∧ y)∼ ; (x̃)′ = (x′ )∼ .

В силу предложения 11.9 эти операции заданы корректно. Нетрудно видеть,
что выполняются аксиомы а1) – а4) и по теореме 6.9 X̃ является ба, в которой
нулем является I , а единицей I ′ = {a′ : a ∈ I}. Выясним как порядок в X̃
связан с порядком в исходной ба X .

  11.11. Предложение. Пусть x̃, ỹ ∈ X̃ . Тогда

                          x̃ ≤ ỹ ⇔ ∃ a ∈ x̃ ∃ b ∈ ỹ (a ≤ b).

  Доказательство. По определению порядка имеем x̃ ≤ ỹ ⇔ ỹ = x̃∨ ỹ ⇔ x̃ =
x̃∧ ỹ . Учитывая, что x̃∧ ỹ = (x∧y)∼ , имеем |x−x∧y| = x∧(x∧y ′ ) = x∧y ′ ∈ I .
Возьмем a = x ∧ y, b = y . Тогда a ≤ b и |a − x| = x ∧ y ′ ∈ I , что означает
a ∼ x, b = y ∼ y . Обратно, в силу 1) из предложения 8.9 a = a ∧ b ∼ x ∧ y; ã =
x̃ = (x ∧ y)∼ = x̃ ∧ ỹ . Следовательно, x̃ ≤ ỹ .

  11.12. Определим пространство Стоуна фактор-алгебры X/I через про-
странство Стоуна Q исходной ба X . Пусть φ : X → CO(Q) стоуновский изо-
                                                          ∪
морфизм. Так как множество φ(x) – открыто-замкнуто, то        φ(x) откры-
                    ∩                                     x∈I
то, а множество P =    φ(x′ ) замкнуто. Следовательно, P является вполне
                          x∈I
несвязным компактом. Заметим, что z ∈ I ⇔ φ(z) ⊂ Q\P ⇔ φ(z) ∩ P = ∅.

                                             49

Страницы