От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 50 стр.

                                                                           ∪
Действительно, φ(z) замкнуто, то φ(z) компакт. Условие φ(z) ⊂                    φ(x)
                                                                           x∈I
означает, что {φ(x) : x ∈ I} является открытым покрытием φ(z). Выде-
                                   ∪
                                   n                      ∪
                                                          n
лим конечное подпокрытие: φ(z) ⊂     φ(xi ). Тогда φ(z) =   φ(xi ∧ z) =
                                        i=1                         i=1
        ∨
        n                                     ∨
                                              n
φ(z ∧         xi ). Так как xi ∈ I , то z ∧         xi ∈ I . Поскольку отображение
        i=1                                   i=1
ψ(x̃) = φ(x) ∩ P является изоморфизмом фактор-алгебры X/I на алгебру
всех открыто-замкнутых подмножеств множества P , то как раз P и является
пространством Стоуна фактор-алгебры X/I .

  11.13. Границей подмножества A топологического пространства T назы-
вается множество b(A) = A− \A◦ = A− ∩ Ac− . Отметим, что b(A) = b(Ac ) и
b(A ∪ B) ⊆ b(A) ∪ b(B). Следовательно, множество A = {A ⊂ T : b(A) ∈ N },
где N – идеал нигде не плотных подмножеств, является алгеброй множеств.
Очевидно, что N ⊂ A.
  Покажем, что фактор-алгебра A/N изоморфна каждой из ба регулярных
открытых U или замкнутых множеств F . Заметим, что если A ∈ A, то в силу
включений b(A− ) ⊂ b(A), b(A◦ ) ⊂ b(A) имеем A− , A◦ ∈ A и A ∼ A− ∼ A◦ .
Значит A ∼ A−◦ ∈ U, A ∼ A◦− ∈ F . Тогда искомые изоморфизмы φ1 :
A/N → U и φ2 : A/N → F задаются равенствами φ1 (Ã) = A−◦ , φ2 (Ã) =
A◦− .
  Проверим, например, корректность этих формул: A ∼ B ⇒ A−◦ =
B −◦ , A◦− = B ◦− . Используя леммы 10.5, 10.6, получим A−◦ \B −◦ = A−◦ ∩
B −◦c = A−◦ ∩ B −c− = A−◦ ∩ B c◦− ⊂ (A−◦ ∩ B c◦− )− = (A−◦ ∩ B c◦ )− =
(A− ∩ B c )◦− ⊂ [(b(A) ∪ A) ∩ B c ]◦− . Так как A ∩ B c , b(A) ∈ N , а N – идеал,
то множество N = (b(A) ∪ A) ∩ B c ∈ N . Следовательно, A−◦ \B −◦ ⊂ N ◦− ⊂
(N − )◦− = ∅. Аналогично, B −◦ \A−◦ = ∅ и, следовательно, A−◦ = B −◦ .
  Для доказательства второго равенства также воспользуемся леммами 10.5,
10.6. Имеем A◦− \B ◦− = A◦− ∩ B ◦− = A◦− ∩ B ◦c◦ = A◦− ∩ B c−◦ ⊂ (A◦− ∩
B c−◦ )− = (A◦ ∩ B c−◦ )− = (A ∩ B c− )◦− ⊂ (A ∩ (b(B c ) ∪ B c ))◦− . Так как A ∩
B c , A ∩ b(B c ) ∈ N , то множество M = A ∩ (b(B c ) ∪ B c ) ∈ N . Следовательно,
A◦− \B ◦− ⊂ M ◦− ⊂ (M − )◦− = ∅. Аналогично, B ◦− \A◦− = ∅. Итак, A◦− =


                                        50