От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Обратно, пусть X – произвольная б.а, в которой существует дизъюнкт-
ное подмножество U такое, что U
d
= {0}. Тогда 1 дизъюнктна к U
d
, то есть
1 ∈ U
dd
и 1
′
= 0 ∈ U
d
. По лемме 9.3 sup U = 1. Далее x = x∧1 = x∧sup U =
sup(x ∧ U) =
∨
u∈U
(x ∧ u), в силу обобщенного закона дистрибутивности D3.
Поставив элементу x в соответствие вектор (x ∧ u)
u∈U
, мы зададим отоб-
ражение ψ : X →
⊕
u∈U
X
u
б.а X в прямую сумму своих главных идеалов.
Это отображение является изоморфизмом: ψ(x ∨ y) = ((x ∨ y) ∧ u)
u∈U
=
((x ∧ u)
u∈U
∨ ((y ∧u)
u∈U
= ψ(x) ∨ ψ(y); ψ(x
′
) = (x
′
∧ u)
u∈U
= (ψ(x))
′
; если же
ψ(x) = 0, то x∧u = 0 для всех u ∈ U и значит 0 =
∨
u∈U
(x∧u) = x. Например,
множество U = {a, a
′
} имеет U
d
= {0}, так как x ∧ a = 0, x ∧ a
′
= 0 влекут
0 = (x ∧ a) ∨ (x ∧ a
′
) = x. Поэтому X изоморфна X
a
⊕
X
a
′
.
35
◦
. Пусть E – подалгебра булевой алгебры X и z ̸∈ E . Тогда a(E ∪ {z}) =
{(x ∧ z) ∨ (y ∧ z
′
) : x, y ∈ E}.
36
◦
. Пусть I – идеал в б.а X . Тогда a(I) = I ∪ I
′
. Если идеал I максимален,
то a(I) = X .
§12. Гомоморфизмы и булевы произведения
12.1. Пусть X, Y – б.а. Отображение h : X → Y называется гомоморфиз-
мом, если для любых a, b ∈ X
h(a ∨ b) = h(a) ∨ h(b), h(a) ∧ h(b) = h(a) ∧ h(b), h(a)
′
= h(a)
′
Заметим, что h(0) = h(a ∧ a
′
) = h(a) ∧ h(a)
′
= 0, h(1) = h(a ∨ a
′
) =
h(a) ∨ h(a)
′
= 1. Следовательно, образ h(X) является подалгеброй б.а Y .
Инъективный гомоморфизм (h(a) = h(b) ⇔ a = b) является изоморфизмом
б.а X на h(X). Инъективность гомоморфизма равносильна условию: h(a) =
0 ⇔ a = 0. Любой гомоморфизм сохраняет порядок: a ≤ b ⇒ h(a) ≤ h(b).
Пусть J – идеал в б.а Y . Тогда прообраз h
−1
(J) = {a ∈ X : h(a) ∈ J}
52
  Обратно, пусть X – произвольная б.а, в которой существует дизъюнкт-
ное подмножество U такое, что U d = {0}. Тогда 1 дизъюнктна к U d , то есть
1 ∈ U dd и 1′ = 0 ∈ U d . По лемме 9.3 sup U = 1. Далее x = x∧1 = x∧sup U =
                ∨
sup(x ∧ U ) =      (x ∧ u), в силу обобщенного закона дистрибутивности D3.
                u∈U
Поставив элементу x в соответствие вектор (x ∧ u)u∈U , мы зададим отоб-
                  ⊕
ражение ψ : X →      Xu б.а X в прямую сумму своих главных идеалов.
                       u∈U
Это отображение является изоморфизмом: ψ(x ∨ y) = ((x ∨ y) ∧ u)u∈U =
((x ∧ u)u∈U ∨ ((y ∧ u)u∈U = ψ(x) ∨ ψ(y); ψ(x′ ) = (x′ ∧ u)u∈U = (ψ(x))′ ; если же
                                                       ∨
ψ(x) = 0, то x∧u = 0 для всех u ∈ U и значит 0 =          (x∧u) = x. Например,
                                                     u∈U
множество U = {a, a } имеет U = {0}, так как x ∧ a = 0, x ∧ a′ = 0 влекут
                        ′            d
                                                   ⊕
0 = (x ∧ a) ∨ (x ∧ a′ ) = x. Поэтому X изоморфна Xa Xa′ .

35 ◦ . Пусть E – подалгебра булевой алгебры X и z ̸∈ E . Тогда a(E ∪ {z}) =
{(x ∧ z) ∨ (y ∧ z ′ ) : x, y ∈ E}.

36 ◦ . Пусть I – идеал в б.а X . Тогда a(I) = I ∪ I ′ . Если идеал I максимален,
то a(I) = X .




                §12. Гомоморфизмы и булевы произведения


  12.1. Пусть X, Y – б.а. Отображение h : X → Y называется гомоморфиз-
мом, если для любых a, b ∈ X

        h(a ∨ b) = h(a) ∨ h(b), h(a) ∧ h(b) = h(a) ∧ h(b), h(a)′ = h(a)′

  Заметим, что h(0) = h(a ∧ a′ ) = h(a) ∧ h(a)′ = 0, h(1) = h(a ∨ a′ ) =
h(a) ∨ h(a)′ = 1. Следовательно, образ h(X) является подалгеброй б.а Y .
Инъективный гомоморфизм (h(a) = h(b) ⇔ a = b) является изоморфизмом
б.а X на h(X). Инъективность гомоморфизма равносильна условию: h(a) =
0 ⇔ a = 0. Любой гомоморфизм сохраняет порядок: a ≤ b ⇒ h(a) ≤ h(b).
  Пусть J – идеал в б.а Y . Тогда прообраз h−1 (J) = {a ∈ X : h(a) ∈ J}

                                         52

Страницы