От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

B
◦−
. В частности, если b(A) ∈ N , то A
−◦
= A
◦−◦
, A
◦−
= A
−◦−
.
11.14. Важный пример фактор-алгебры возникает, когда мы рассматри-
ваем пространство с мерой. Пространством с мерой называется тройка
(Ω, A, µ), где Ω – множество, A – алгебра подмножеств множества Ω (см.
6.10, пример 2)), а мера µ есть отображение µ : A → R такое, что для любых
A, B ∈ A
A ∩ B = ∅ ⇒ µ(A ∪ B) = µA + µB
(это свойство меры называется аддитивностью). Пространство с мерой на-
зывается полным, если B ⊂ A ∈ A, µA = 0 влечет B ∈ A .
Так тройка (R, L(R), µ), где L(R) – алгебра измеримых по Лебегу мно-
жеств на прямой, а µ – мера Лебега (мера промежутка µ(< a, b >) = b − a)
является типичным примером полного пространства с мерой. На самом деле,
L(R) является σ-алгеброй, а µ – σ-аддитивной мерой, но в данной книге мы
не рассматриваем эти свойства.
Нетрудно видеть, что множество A
0
= {A ∈ A : µ(A) = 0} является идеа-
лом алгебры A . Фактор-алгебра A/A
0
является булевой алгеброй, состоящей
из классов почти совпадающих подмножеств из A с одинаковой мерой (мно-
жества A, B почти совпадают, если µ(A∆B) = 0).
11.15. Прямая сумма булевых алгебр. Пусть X
t
, t ∈ T – семейство
б.а. В декартовом произведении X =
∏
t∈T
X
t
(элементы которого мы будем
называть векторами) введем (покоординатные) алгебраические операции:
(x
t
) ∨ (y
t
) = (x
t
∨ y
t
), (x
t
) ∧ (y
t
) = (x
t
∧ y
t
), (x
t
)
′
= (x
′
t
).
Тогда по теореме 6.9 X является б.а, в которой (x
t
) ≤ (y
t
) ⇔ ∀t ∈ T (x
t
≤
y
t
), 0 = (0
t
), 1 = (1
t
). Эта б.а называется прямой суммой (объединением)
б.а X
t
и обозначается X =
⊕
t∈T
X
t
. Пусть s ∈ T и x(s) ∈ X такой вектор,
у которого s-тая координата равна 1
s
, а на остальных местах стоят нули.
Тогда X
s
изоморфна главному идеалу X
x(s)
ба X . Очевидно, что множество
U = {x(s) : s ∈ T } является дизъюнктным и U
d
= {0}.
51
B ◦− . В частности, если b(A) ∈ N , то A−◦ = A◦−◦ , A◦− = A−◦− .

  11.14. Важный пример фактор-алгебры возникает, когда мы рассматри-
ваем пространство с мерой. Пространством с мерой называется тройка
(Ω, A, µ), где Ω – множество,        A   – алгебра подмножеств множества Ω (см.
6.10, пример 2)), а мера µ есть отображение µ : A → R такое, что для любых
A, B ∈ A

                        A ∩ B = ∅ ⇒ µ(A ∪ B) = µA + µB

(это свойство меры называется аддитивностью). Пространство с мерой на-
зывается полным, если B ⊂ A ∈ A, µA = 0 влечет B ∈ A .
  Так тройка (R, L(R), µ), где L(R) – алгебра измеримых по Лебегу мно-
жеств на прямой, а µ – мера Лебега (мера промежутка µ(< a, b >) = b − a)
является типичным примером полного пространства с мерой. На самом деле,
L(R) является σ -алгеброй, а µ – σ -аддитивной мерой, но в данной книге мы
не рассматриваем эти свойства.
  Нетрудно видеть, что множество           A0   = {A ∈   A   : µ(A) = 0} является идеа-
лом алгебры    A.   Фактор-алгебра A/A0 является булевой алгеброй, состоящей
из классов почти совпадающих подмножеств из                  A   с одинаковой мерой (мно-
жества A, B почти совпадают, если µ(A∆B) = 0).

  11.15. Прямая сумма булевых алгебр. Пусть Xt , t ∈ T – семейство
                                   ∏
б.а. В декартовом произведении X =   Xt (элементы которого мы будем
                                                  t∈T
называть векторами) введем (покоординатные) алгебраические операции:

           (xt ) ∨ (yt ) = (xt ∨ yt ), (xt ) ∧ (yt ) = (xt ∧ yt ), (xt )′ = (x′t ).

  Тогда по теореме 6.9 X является б.а, в которой (xt ) ≤ (yt ) ⇔ ∀t ∈ T (xt ≤
yt ), 0 = (0t ), 1 = (1t ). Эта б.а называется прямой суммой (объединением)
                                ⊕
б.а Xt и обозначается X =           Xt . Пусть s ∈ T и x(s) ∈ X такой вектор,
                                  t∈T
у которого s-тая координата равна 1s , а на остальных местах стоят нули.
Тогда Xs изоморфна главному идеалу Xx(s) ба X . Очевидно, что множество
U = {x(s) : s ∈ T } является дизъюнктным и U d = {0}.


                                             51

Страницы