От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

является идеалом в б.а X . В частности, ядро гомоморфизма Kerh = h
−1
(0)
является идеалом.
Примером гомоморфизма является отображение x 7→ ˜x между б.а X и
фактор-алгеброй X/I , где I – идеал в X . Другим примером гомоморфизма
является оператор проектирования h
s
из прямой суммы X =
t∈T
X
t
→ X
s
,
задаваемый формулой h
s
((x
t
)) = x
s
.
Пусть C – множество образующих б.а X, a(C) = X . Мы хотим выяс-
нить при каких условиях отображение f : C → Y можно продолжить до
гомоморфизма h : X → Y , такого, что h(a) = f(a) (a ∈ C).
Введем обозначение: для σ принимающего два значения {
′
,
′′
} положим
a
σ
= a
′
, если σ =
′
и a
σ
= a, если σ =
′′
. Оператор
σ
) называется оператором
расстановки дополнений. Тогда каждый элемент z ∈ a(C) запишется в виде
z =
s
i=1
(
r
i
j=1
c
σ(i,j)
i,j
), (6)
где c
i,j
∈ C, σ(i, j) ∈ {
′
,
′′
}, s, r
i
∈ N(см. 11.3).
12.2. Теорема. Пусть X, Y – б.а и a(C) = X . Отображение f : C → Y
можно продолжить до гомоморфизма h : X → Y тогда и только тогда,
когда
c∈C
1
c
σ(c)
= 0 ⇒
c∈C
1
f(c)
σ(c)
= 0 (7)
для любого конечного подмножества C
1
⊂ C и любых расстановок допол-
нений σ(c), c ∈ C
1
.
Доказательство. Необходимость. Если h гомоморфизм, продолжающий
f , то 0 = h(0) =
c∈C
1
h(c
σ(c)
) =
c∈C
1
h(c)
σ(c)
=
c∈C
1
f(c)
σ(c)
.
Достаточность. Сначала мы должны убедиться, что условие (7) обеспечи-
вает выполнение следующих утверждений:
i) если a, a
′
∈ C , то f(a
′
) = f(a)
′
;
ii) если a, b, a ∨ b ∈ C , то f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b);
iii) если a, b, a ∧ b ∈ C , то f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b).
53
является идеалом в б.а X . В частности, ядро гомоморфизма Kerh = h−1 (0)
является идеалом.
  Примером гомоморфизма является отображение x 7→ x̃ между б.а X и
фактор-алгеброй X/I , где I – идеал в X . Другим примером гомоморфизма
                                                            ∏
является оператор проектирования hs из прямой суммы X =       Xt → Xs ,
                                                                            t∈T
задаваемый формулой hs ((xt )) = xs .
  Пусть C – множество образующих б.а X, a(C) = X . Мы хотим выяс-
нить при каких условиях отображение f : C → Y можно продолжить до
гомоморфизма h : X → Y , такого, что h(a) = f (a) (a ∈ C).
  Введем обозначение: для σ принимающего два значения {′ ,′′ } положим
aσ = a′ , если σ =′ и aσ = a, если σ =′′ . Оператор σ ) называется оператором
расстановки дополнений. Тогда каждый элемент z ∈ a(C) запишется в виде
                                           ∨
                                           s ∧
                                             ri
                                                σ(i,j)
                                        z = ( ci,j ),                             (6)
                                                i=1 j=1

где ci,j ∈ C, σ(i, j) ∈ {′ ,′′ }, s, ri ∈ N(см. 11.3).

  12.2. Теорема. Пусть X, Y – б.а и a(C) = X . Отображение f : C → Y
можно продолжить до гомоморфизма h : X → Y тогда и только тогда,
когда
                           ∧                         ∧
                                  c   σ(c)
                                             =0⇒            f (c)σ(c) = 0         (7)
                           c∈C1                      c∈C1

для любого конечного подмножества C1 ⊂ C и любых расстановок допол-
нений σ(c), c ∈ C1 .

   Доказательство. Необходимость. Если h гомоморфизм, продолжающий
                  ∧             ∧            ∧
f , то 0 = h(0) =   h(cσ(c) ) =   h(c)σ(c) =   f (c)σ(c) .
                    c∈C1                     c∈C1             c∈C1
  Достаточность. Сначала мы должны убедиться, что условие (7) обеспечи-
вает выполнение следующих утверждений:
  i) если a, a′ ∈ C , то f (a′ ) = f (a)′ ;
  ii) если a, b, a ∨ b ∈ C , то f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b);
  iii) если a, b, a ∧ b ∈ C , то f (a ∧ b) = f (a) ∧ f (b).

                                                    53

Страницы