От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

образующими C и D. Биекцию f : C → D можно продолжить до изомор-
физма булевых алгебр X и Y тогда и только тогда, когда
c∈C
1
c
σ(c)
= 0 ⇔
c∈C
1
f(c)
σ(c)
= 0
для любого конечного подмножества C
1
⊂ C и любых расстановок допол-
нений σ(c), c ∈ C
1
.
12.4. Предложение. Пусть X
t
, t ∈ T –семейство подалгебр булевой ал-
гебры X такое, что a(
t∈T
X
t
) = X . Пусть Y – булева алгебра и h
t
: X
t
→ Y
– гомоморфизм для каждого t ∈ T . Тогда для существования гомоморфиз-
ма h : X → Y , являющегося общим продолжением семейства {h
t
: t ∈ T }
необходимо и достаточно, чтобы
t∈T
1
a
t
= 0 ⇒
t∈T
1
h
t
(a
t
) = 0
для любого конечного подмножества T
1
⊂ T и любых элементов a
t
∈
X
t
, t ∈ T
1
.
Доказательство. Необходимость. Если h : X → Y – гомоморфизм такой,
что h(a) = h
t
(a) для любого a ∈ X
t
, то 0 = h(
t∈T
1
a
t
) =
t∈T
1
h(a
t
) =
t∈T
1
h
t
(a
t
).
Достаточность. Если a ∈ X
t
∩X
s
, (t ̸= s), то a∧a
′
= 0 влечет h
t
(a)∧h
s
(a)
′
=
0 и h
t
(a)
′
∧ h
s
(a) = 0. Следовательно, h
t
(a) = h
s
(a). Значит отображение
f :
t∈T
X
t
→ Y, f(a) = h
t
(a) для a ∈ X
t
определено корректно. По теореме
12.2 отображение f можно продолжить до гомоморфизма на X .
12.5. Семейство подалгебр {X
t
: t ∈ T } б.а X называется независимым,
если
t∈T
1
a
t
̸= 0 для любого конечного подмножества T
1
⊂ T и любых нену-
левых a
t
∈ X
t
, t ∈ T
1
.
Пусть s, t ∈ T и s ̸= t. Тогда из независимости следует, что 1) X
t
∩ X
s
=
{0, 1}; 2) ∀a ∈ X
t
∀b ∈ X
s
(a ≤ b ⇔ a = 0 или b = 1).
Действительно, если a ∈ X
t
∩ X
s
и 0 < a < 1, то a
′
∈ X
t
∩ X
s
, 0 < a
′
< 1.
Так как a∧a
′
= 0, то получаем противоречие с независимостью. Аналогично,
55
образующими C и D . Биекцию f : C → D можно продолжить до изомор-
физма булевых алгебр X и Y тогда и только тогда, когда
                           ∧                        ∧
                                  c   σ(c)
                                             =0⇔          f (c)σ(c) = 0
                           c∈C1                    c∈C1

для любого конечного подмножества C1 ⊂ C и любых расстановок допол-
нений σ(c), c ∈ C1 .

  12.4. Предложение. Пусть Xt , t ∈ T –семейство подалгебр булевой ал-
                     ∪
гебры X такое, что a( Xt ) = X . Пусть Y – булева алгебра и ht : Xt → Y
                           t∈T
– гомоморфизм для каждого t ∈ T . Тогда для существования гомоморфиз-
ма h : X → Y , являющегося общим продолжением семейства {ht : t ∈ T }
необходимо и достаточно, чтобы
                             ∧                     ∧
                                       at = 0 ⇒           ht (at ) = 0
                             t∈T1                  t∈T1

для любого конечного подмножества T1 ⊂ T и любых элементов at ∈
Xt , t ∈ T1 .

  Доказательство. Необходимость. Если h : X → Y – гомоморфизм такой,
                                                ∧        ∧          ∧
что h(a) = ht (a) для любого a ∈ Xt , то 0 = h(   at ) =   h(at ) =   ht (at ).
                                                              t∈T1        t∈T1   t∈T1
  Достаточность. Если a ∈ Xt ∩Xs , (t ̸= s), то a∧a = 0 влечет ht (a)∧hs (a)′ =
                                                                     ′

0 и ht (a)′ ∧ hs (a) = 0. Следовательно, ht (a) = hs (a). Значит отображение
    ∪
f :    Xt → Y, f (a) = ht (a) для a ∈ Xt определено корректно. По теореме
    t∈T
12.2 отображение f можно продолжить до гомоморфизма на X .

  12.5. Семейство подалгебр {Xt : t ∈ T } б.а X называется независимым,
     ∧
если     at ̸= 0 для любого конечного подмножества T1 ⊂ T и любых нену-
      t∈T1
левых at ∈ Xt , t ∈ T1 .
  Пусть s, t ∈ T и s ̸= t. Тогда из независимости следует, что 1) Xt ∩ Xs =
{0, 1}; 2) ∀a ∈ Xt ∀b ∈ Xs (a ≤ b ⇔ a = 0 или b = 1).
  Действительно, если a ∈ Xt ∩ Xs и 0 < a < 1, то a′ ∈ Xt ∩ Xs , 0 < a′ < 1.
Так как a∧a′ = 0, то получаем противоречие с независимостью. Аналогично,


                                               55

Страницы