От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1) X – б.а, h
t
: X
t
→ X есть инъективный гомоморфизм для каждого t ∈ T ;
2) семейство подалгебр {h
t
(X
t
) : t ∈ T } независимо; 3) a(
∪
t∈T
h
t
(X
t
)) = X .
В силу следствия 12.7 булево произведение определяется булевыми алгеб-
рами X
t
с точностью до изоморфизма. Примером булевого произведения яв-
ляется алгебра цилиндрических множеств, рассмотренная в 12.5.
Булево произведение любого семейства б.а {X
t
: t ∈ T } всегда существует.
Действительно, пусть Q
t
– стоуновское пространство б.а X
t
и φ
t
: X
t
→
CO(Q
t
) – соответствующий изоморфизм. Пусть X – алгебра цилиндриче-
ских множеств, порожденная семейством алгебр открыто-замкнутых мно-
жеств {CO(Q
t
) : t ∈ T } в декартовом произведении Q =
∏
t∈T
Q
t
. Зададим
гомоморфизм h
t
(a) = C
t
(φ
t
(a)) : X
t
→ CO(Q
t
)
∗
. Тогда (X, {h
t
: t ∈ T })
является булевым произведением алгебр X
t
.
Так как все пространства Q
t
компактны и вполне не связны, то по тереме
Тихонова Q также компактно и вполне не связно. Следовательно, Q является
пространством Стоуна булевого произведения X .
§13. Принцип исчерпывания. Наследственное ядро
13.1. Пусть X – б.а, E ⊂ X и K – компонента в X . Скажем, что E
минорантно (соотв. мажорантно) в K , если ∀x ∈ K\{0}∃y ∈ E(0 < y ≤ x)
(соотв. ∀x ∈ K\{1}∃y ∈ E(x ≤ y < 1)).
13.2. Теорема. Пусть X полная булева алгебра, M ⊂ X\{∅}, а E мино-
рантно в X
sup M
. Тогда существует дизъюнктное подмножество E
1
⊂ E
такое, что
1) sup E
1
= sup M; 2) ∀x ∈ E
1
∃y ∈ M(x ≤ y).
Доказательство. Mножество
D = {F : F ⊆ E, F −дизъюнктно, ∀ x ∈ F ∃ y ∈ M (x ≤ y)}
57
1) X – б.а, ht : Xt → X есть инъективный гомоморфизм для каждого t ∈ T ;
                                                            ∪
2) семейство подалгебр {ht (Xt ) : t ∈ T } независимо; 3) a( ht (Xt )) = X .
                                                         t∈T
  В силу следствия 12.7 булево произведение определяется булевыми алгеб-
рами Xt с точностью до изоморфизма. Примером булевого произведения яв-
ляется алгебра цилиндрических множеств, рассмотренная в 12.5.
  Булево произведение любого семейства б.а {Xt : t ∈ T } всегда существует.
Действительно, пусть Qt – стоуновское пространство б.а Xt и φt : Xt →
CO(Qt ) – соответствующий изоморфизм. Пусть X – алгебра цилиндриче-
ских множеств, порожденная семейством алгебр открыто-замкнутых мно-
                                                       ∏
жеств {CO(Qt ) : t ∈ T } в декартовом произведении Q =   Qt . Зададим
                                                               t∈T
                                                 ∗
гомоморфизм ht (a) = Ct (φt (a)) : Xt → CO(Qt ) . Тогда (X, {ht : t ∈ T })
является булевым произведением алгебр Xt .
  Так как все пространства Qt компактны и вполне не связны, то по тереме
Тихонова Q также компактно и вполне не связно. Следовательно, Q является
пространством Стоуна булевого произведения X .




        §13. Принцип исчерпывания. Наследственное ядро


  13.1. Пусть X – б.а, E ⊂ X и K – компонента в X . Скажем, что E
минорантно (соотв. мажорантно) в K , если ∀x ∈ K\{0}∃y ∈ E(0 < y ≤ x)
(соотв. ∀x ∈ K\{1}∃y ∈ E(x ≤ y < 1)).

  13.2. Теорема. Пусть X полная булева алгебра, M ⊂ X\{∅}, а E мино-
рантно в Xsup M . Тогда существует дизъюнктное подмножество E1 ⊂ E
такое, что
              1) sup E1 = sup M ;   2) ∀x ∈ E1 ∃y ∈ M (x ≤ y).

  Доказательство. Mножество
         D = {F : F ⊆ E, F −дизъюнктно, ∀ x ∈ F ∃ y ∈ M (x ≤ y)}


                                     57

Страницы