От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

не пусто, так как в силу определения 13.1 существуют одноэлементные под-
множества F из D. Упорядочим D по включению. Рассмотрим цепь C
в D и положим
˜
F = ∪{F : F ∈ C}. Тогда
˜
F ∈ D и, следователь-
но, цепь C ограничена сверху. По лемме Цорна существует максимальный
элемент E
1
∈ D. Для E
1
выполнено условие 2); из него же следует, что
sup E
1
≤ sup M . Допустим, что sup E
1
< sup M . Тогда, используя задачу
26
◦
, имеем sup M ∧ (sup E
1
)
′
> 0. В силу (D3) sup[M ∧ (sup E
1
)
′
] > 0. Поэто-
му найдется y ∈ M такой, что y ∧ (sup E
1
)
′
> 0. Так как M ⊂ M
dd
= X
sup M
и X
sup M
идеал, то y ∧ (sup E
1
)
′
∈ X
sup M
. В силу минорантности E в X
sup M
найдется x ∈ E такой, что 0 < x ≤ y ∧ (sup E
1
)
′
. Тогда x дизъюнктно E
1
и
x ≤ y, y ∈ M . Поэтому множество
˜
E = E ∪ {x} ∈ D и E
1
не максимален.
Это противоречие доказывает теорему.
13.3. Из теоремы 13.2 следует принцип исчерпывания для полных б.а: ес-
ли E минорантно в X
a
, то для каждого y ∈ X
a
существует дизъюнктное
подмножество E
1
⊂ E такое, что y = sup E
1
.
13.4. Б.а X называется булевой алгеброй счетного типа, если любое дизъ-
юнктное подмножество X не более, чем счетно. Например, алгебра P(Ω) всех
подмножеств множества Ω счетного типа тогда и только тогда, когда Ω не
более, чем счетно. Следующее предложение показывает, что в полных б.а
счетного типа можно обойтись лишь счетными точными границами.
13.5. Предложение. Пусть X полная булева алгебра счетного типа.
Тогда для любого E ⊂ X существует не более, чем счетное E
0
⊂ E такое,
что sup E = sup E
0
, inf E = inf E
0
.
Доказательство. Очевидно, что X
sup E
минорантно в X
sup E
. По теоре-
ме 13.2 существует дизъюнктное
˜
E
1
⊂ X
sup E
такое, что sup
˜
E
1
= sup E и
∀x ∈
˜
E
1
∃y ∈ E(x ≤ y). Так как множество
˜
E
1
не более, чем счетно, то
выбирая по одному y ≥ x ∈
˜
E
1
получаем не более, чем счетное подмноже-
ство E
1
⊂ E . Следовательно, sup E = sup
˜
E
1
≤ sup E
1
≤ sup E . Так как
inf E = (sup E
′
)
′
, то существует не более, чем счетное E
2
⊂ E
′
, sup E
′
=
58
не пусто, так как в силу определения 13.1 существуют одноэлементные под-
множества F из D . Упорядочим D по включению. Рассмотрим цепь C
в D и положим F̃ = ∪{F : F ∈ C}. Тогда F̃ ∈ D и, следователь-
но, цепь C ограничена сверху. По лемме Цорна существует максимальный
элемент E1 ∈ D . Для E1 выполнено условие 2); из него же следует, что
sup E1 ≤ sup M . Допустим, что sup E1 < sup M . Тогда, используя задачу
26 ◦ , имеем sup M ∧ (sup E1 )′ > 0. В силу (D3) sup[M ∧ (sup E1 )′ ] > 0. Поэто-
му найдется y ∈ M такой, что y ∧ (sup E1 )′ > 0. Так как M ⊂ M dd = Xsup M
и Xsup M идеал, то y ∧ (sup E1 )′ ∈ Xsup M . В силу минорантности E в Xsup M
найдется x ∈ E такой, что 0 < x ≤ y ∧ (sup E1 )′ . Тогда x дизъюнктно E1 и
x ≤ y, y ∈ M . Поэтому множество Ẽ = E ∪ {x} ∈ D и E1 не максимален.
Это противоречие доказывает теорему.

  13.3. Из теоремы 13.2 следует принцип исчерпывания для полных б.а: ес-
ли E минорантно в Xa , то для каждого y ∈ Xa существует дизъюнктное
подмножество E1 ⊂ E такое, что y = sup E1 .

  13.4. Б.а X называется булевой алгеброй счетного типа, если любое дизъ-
юнктное подмножество X не более, чем счетно. Например, алгебра P(Ω) всех
подмножеств множества Ω счетного типа тогда и только тогда, когда Ω не
более, чем счетно. Следующее предложение показывает, что в полных б.а
счетного типа можно обойтись лишь счетными точными границами.

  13.5. Предложение. Пусть X полная булева алгебра счетного типа.
Тогда для любого E ⊂ X существует не более, чем счетное E0 ⊂ E такое,
что sup E = sup E0 , inf E = inf E0 .

  Доказательство. Очевидно, что Xsup E минорантно в Xsup E . По теоре-
ме 13.2 существует дизъюнктное Ẽ1 ⊂ Xsup E такое, что sup Ẽ1 = sup E и
∀x ∈ Ẽ1 ∃y ∈ E(x ≤ y). Так как множество Ẽ1 не более, чем счетно, то
выбирая по одному y ≥ x ∈ Ẽ1 получаем не более, чем счетное подмноже-
ство E1 ⊂ E . Следовательно, sup E = sup Ẽ1 ≤ sup E1 ≤ sup E . Так как
inf E = (sup E ′ )′ , то существует не более, чем счетное E2 ⊂ E ′ , sup E ′ =

                                        58

Страницы