От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. 1). Пусть x ∈ E
h
, y ∈ E
ch
. Так как E
h
, E
ch
наследствен-
ны, то x ∧ y ∈ E
h
∩ E
ch
⊂ (E ∪ {0}) ∪ (E
c
∪ {0}) = {0}, то есть x ∧ y = 0.
2) Докажем, что E
c
минорантно в E
hd
. Пусть 0 < a ∈ E
hd
. Если бы X
a
⊂
E ∪ {0}, то a ∈ E
h
и значит a = a ∧ a = 0, что протворечит a > 0. Поэтому
X
a
̸⊂ E ∪ {0} и существует ненулевой элемент b ∈ X
a
\(E ∪ {0}) ⊂ E
c
, что и
требовалось.
3) Пусть E d-правильно. По 2) E минорантно в E
chd
. Так как E
chd
– идеал,
то ∀a ∈ E
chd
(X
a
⊂ E
chd
). Следовательно, E минорантно в X
a
. По принципу
исчерпывания существует дизъюнктное E
1
⊂ E такое, что a = sup E
1
. Так
как E d-правильно, то a ∈ E . Итак, установлено E
chd
⊂ E . Далее E
chd
,
являясь идеалом, наследственно и значит E
chd
⊂ E
h
. Из 1) E
h
дизъюнктно
E
ch
, значит E
h
⊂ E
chd
.
4) Пусть E – компонента. Тогда E – идеал, 0 ∈ E . Если a ∈ E , то X
a
⊂
E = E ∪ {0}. Поэтому a ∈ E
h
и E ⊂ E
h
. Обратно, если b ∈ E
h
, то X
b
⊂
E ∪ {0} = E и b ∈ X
b
⊂ E . Итак, E = E
h
.
Теперь установим, что множество E
c
d-правильно. Так как E = X
e
, где
e = sup E , то b
i
∈ E
c
(i ∈ J) означает, что b
i
̸≤ e для всех i ∈ J . Тогда
∨
i∈J
b
i
̸≤ e, то есть
∨
i∈J
b
i
∈ E
c
. По доказанному 3) E
ch
= E
hd
= E
d
.
13.10. Следствие. Пусть X – полная булева алгебра, E\{0} ̸= ∅ и мно-
жество E
c
является d-правильным. Тогда E
h
\{0} ̸= ∅.
Действительно, по 3) теоремы 13.9 E
ch
= E
hd
. Пусть 0 < a ∈ E . Тогда
a ̸∈ E
c
∪ {0}, а значит X
a
̸⊂ E
c
∪ {0} и a ̸∈ E
ch
. Поэтому X ̸= E
ch
= E
hd
и,
следовательно, E
h
̸= {0}.
13.11. Приведем модификацию теоремы 13.2 для произвольных б.а (дока-
зывается также с использованием леммы Цорна).
Пусть X – б.а и ∅ ̸= M ⊂ X , X
M
– компонента, порожденная мно-
жеством M . Если E минорантно в X
M
, то существует дизъюнктное
подмножество E
1
⊂ E такое, что
1) E
s
1
= M
s
; 2) ∀x ∈ E
1
∃y ∈ M(x ≤ y).
60
  Доказательство. 1). Пусть x ∈ E h , y ∈ E ch . Так как E h , E ch наследствен-
ны, то x ∧ y ∈ E h ∩ E ch ⊂ (E ∪ {0}) ∪ (E c ∪ {0}) = {0}, то есть x ∧ y = 0.
  2) Докажем, что E c минорантно в E hd . Пусть 0 < a ∈ E hd . Если бы Xa ⊂
E ∪ {0}, то a ∈ E h и значит a = a ∧ a = 0, что протворечит a > 0. Поэтому
Xa ̸⊂ E ∪ {0} и существует ненулевой элемент b ∈ Xa \(E ∪ {0}) ⊂ E c , что и
требовалось.
  3) Пусть E d-правильно. По 2) E минорантно в E chd . Так как E chd – идеал,
то ∀a ∈ E chd (Xa ⊂ E chd ). Следовательно, E минорантно в Xa . По принципу
исчерпывания существует дизъюнктное E1 ⊂ E такое, что a = sup E1 . Так
как E d-правильно, то a ∈ E . Итак, установлено E chd ⊂ E . Далее E chd ,
являясь идеалом, наследственно и значит E chd ⊂ E h . Из 1) E h дизъюнктно
E ch , значит E h ⊂ E chd .
  4) Пусть E – компонента. Тогда E – идеал, 0 ∈ E . Если a ∈ E , то Xa ⊂
E = E ∪ {0}. Поэтому a ∈ E h и E ⊂ E h . Обратно, если b ∈ E h , то Xb ⊂
E ∪ {0} = E и b ∈ Xb ⊂ E . Итак, E = E h .
  Теперь установим, что множество E c d-правильно. Так как E = Xe , где
e = sup E , то bi ∈ E c (i ∈ J) означает, что bi ̸≤ e для всех i ∈ J . Тогда
∨                   ∨
   bi ̸≤ e, то есть   bi ∈ E c . По доказанному 3) E ch = E hd = E d . 
i∈J                 i∈J
  13.10. Следствие. Пусть X – полная булева алгебра, E\{0} ̸= ∅ и мно-
жество E c является d-правильным. Тогда E h \{0} ̸= ∅.

  Действительно, по 3) теоремы 13.9 E ch = E hd . Пусть 0 < a ∈ E . Тогда
a ̸∈ E c ∪ {0}, а значит Xa ̸⊂ E c ∪ {0} и a ̸∈ E ch . Поэтому X ̸= E ch = E hd и,
следовательно, E h ̸= {0}. 

  13.11. Приведем модификацию теоремы 13.2 для произвольных б.а (дока-
зывается также с использованием леммы Цорна).

Пусть X – б.а и ∅ ̸= M ⊂ X , XM – компонента, порожденная мно-
жеством M . Если E минорантно в XM , то существует дизъюнктное
подмножество E1 ⊂ E такое, что
                    1) E1s = M s ;   2) ∀x ∈ E1 ∃y ∈ M (x ≤ y).


                                         60

Страницы