От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

{I
a
′
}.
Доказательство. Необходимость. Пусть Q– множество всех максималь-
ных идеалов в X . По определению стоуновского изоморфизма φ(a) = {q ∈
Q : q ∋ a
′
}. Пусть q
1
, q
2
∈ φ(a). Если существует a
1
∈ q
1
\q
2
, то в си-
лу максимальности идеалов a
′
1
∈ q
2
\q
1
и значит q
2
∈ φ(a
1
). Поэтому
q
2
∈ φ(a
1
) ∩ φ(a) = φ(a
1
∧ a), что означает φ(a
1
∧ a) ̸= ∅, 0 < a
1
∧ a ≤ a.
Это противоречит тому, что a – атом. Следовательно, q
1
\q
2
= ∅. Аналогично
q
2
\q
1
= ∅, и q
1
= q
2
.
Достаточность. Пусть card φ(a) = 1. Если существует 0 < b ≤ a, то
∅ ̸= φ(b) ⊆ φ(a). В силу одноточечности φ(a) имеем φ(b) = φ(a) и, сле-
довательно, b = a. Значит a – атом.
По предложению 14.2 идеал I
a
′
максимален, а так как I
a
′
∋ a
′
, то I
a
′
∈
φ(a). Следовательно, φ(a) = {I
a
′
}.
Таким образом, атомам в б.а X соответствуют изолированные точки ком-
пакта Q и обратно.
14.4. Теорема. Пусть X – атомная булева алгебра и A = A( X). Тогда
h(x) = {a ∈ A : a ≤ x} является инъективным гомоморфизмом булевой
алгебры X в булеву алгебру P(A) всех подмножеств множества A. Если
X является d-правильной атомной булевой алгеброй, то
i) h является изоморфизмом, ii) x = sup h(x) для любого x ∈ X ,
iii) X является полной.
Доказательство. Так как a ≤ x ≤ x ∨ y, то h(x ∨ y) ⊇ h(x) ∪ h(y). Пусть
атом a ≤ x ∨ y . Тогда из a ∧ x ≤ a (в силу атомности a) следует либо
a ∧ x = 0, либо a ∧ x = a. Первый случай равносилен a ≤ x
′
, что вместе с
неравенством a ≤ x ∨ y дает a ≤ x
′
∧ (x ∨ y) = x
′
∧ y ≤ y, a ∈ h(y). Второй
случай равносилен a ≤ x и значит a ∈ h(x). Таким образом, показано, что
h(x ∨ y) ⊆ h(x) ∪ h(y), а вместе с тем, что h сохраняет операцию ∨.
Теперь покажем, что h(x
′
) = h(x)
c
. Действительно, если a ∈ h(x
′
), то
атом a ̸∈ h(x) иначе a = a ∧ a ≤ x ∧ x
′
= 0, что противоречит a > 0. Итак,
h(x
′
) ⊆ h(x)
c
. Обратно, условие a ∈ h(x)
c
⇔ a ̸≤ x равносильно a ∧ x
′
> 0,
62
{Ia′ }.

  Доказательство. Необходимость. Пусть Q– множество всех максималь-
ных идеалов в X . По определению стоуновского изоморфизма φ(a) = {q ∈
Q : q ∋ a′ }. Пусть q1 , q2 ∈ φ(a). Если существует a1 ∈ q1 \q2 , то в си-
лу максимальности идеалов a′1 ∈ q2 \q1 и значит q2 ∈ φ(a1 ). Поэтому
q2 ∈ φ(a1 ) ∩ φ(a) = φ(a1 ∧ a), что означает φ(a1 ∧ a) ̸= ∅, 0 < a1 ∧ a ≤ a.
Это противоречит тому, что a – атом. Следовательно, q1 \q2 = ∅. Аналогично
q2 \q1 = ∅, и q1 = q2 .
  Достаточность. Пусть card φ(a) = 1. Если существует 0 < b ≤ a, то
∅ ̸= φ(b) ⊆ φ(a). В силу одноточечности φ(a) имеем φ(b) = φ(a) и, сле-
довательно, b = a. Значит a – атом.
  По предложению 14.2 идеал Ia′ максимален, а так как Ia′ ∋ a′ , то Ia′ ∈
φ(a). Следовательно, φ(a) = {Ia′ }. 
  Таким образом, атомам в б.а X соответствуют изолированные точки ком-
пакта Q и обратно.
  14.4. Теорема. Пусть X – атомная булева алгебра и A = A(X). Тогда
h(x) = {a ∈ A : a ≤ x} является инъективным гомоморфизмом булевой
алгебры X в булеву алгебру P(A) всех подмножеств множества A. Если
X является d-правильной атомной булевой алгеброй, то
  i) h является изоморфизмом, ii) x = sup h(x) для любого x ∈ X ,
  iii) X является полной.
  Доказательство. Так как a ≤ x ≤ x ∨ y , то h(x ∨ y) ⊇ h(x) ∪ h(y). Пусть
атом a ≤ x ∨ y . Тогда из a ∧ x ≤ a (в силу атомности a) следует либо
a ∧ x = 0, либо a ∧ x = a. Первый случай равносилен a ≤ x′ , что вместе с
неравенством a ≤ x ∨ y дает a ≤ x′ ∧ (x ∨ y) = x′ ∧ y ≤ y, a ∈ h(y). Второй
случай равносилен a ≤ x и значит a ∈ h(x). Таким образом, показано, что
h(x ∨ y) ⊆ h(x) ∪ h(y), а вместе с тем, что h сохраняет операцию ∨.
  Теперь покажем, что h(x′ ) = h(x)c . Действительно, если a ∈ h(x′ ), то
атом a ̸∈ h(x) иначе a = a ∧ a ≤ x ∧ x′ = 0, что противоречит a > 0. Итак,
h(x′ ) ⊆ h(x)c . Обратно, условие a ∈ h(x)c ⇔ a ̸≤ x равносильно a ∧ x′ > 0,

                                      62

Страницы