От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

а в силу атомности a тогда a ∧ x
′
= a. Это означает, что a ≤ x
′
a ∈ h(x
′
).
Итак, h – гомоморфизм.
Если x ̸= y, то либо x ∧ y
′
̸= 0, либо x
′
∧ y ̸= 0. Если, например, x ∧ y
′
̸= 0,
то существует атом 0 < a ≤ x ∧ y
′
, a ∈ h(x ∧ y
′
) = h(x)\h(y), то есть
h(x) ̸= h(y). Значит h инъективно.
i) Пусть теперь X – d-правильная атомная б.а, ⊂ A. Так как множество
B дизъюнктно, то существует x = sup B ∈ X . Покажем, что h(x) = B .
Действительно, если атом a ∈ B , то a ≤ sup B , то есть B ⊆ h(x). Если атом
a ∈ h(x)\B , то a ≤ sup B влечет a = a ∧ sup B = sup(a ∧ B) = 0 в силу
D3 (теорема 6.6) и дизъюнктности различных атомов. Но это противоречит
a > 0. Итак, h(x) = B , отображение h сюрьективно. Учитывая первую часть
теоремы заключаем, что h – изоморфизм.
ii) Пусть x ∈ X . Так как h(x) дизъюнктно, то существует z = sup h(x) ∈
X . Так как a ≤ x для любого a ∈ h(x), то z ≤ x. Если в разложении
x = z ∨ (x ∧ z
′
) элемент x ∧ z
′
> 0, то в силу атомности ба X найдется атом
0 < a
1
≤ x ∧ z
′
. Заметим, что a
1
∈ h(x). Далее из a
1
= a
1
∧ x ∧ z
′
= a
1
∧ z
′
следует, что a
1
≤ z
′
и a
1
= a
1
∧ z
′
= a
1
∧ inf{a
′
: a ∈ h(x)} = 0, так как среди
элементов h(x) есть также и a
1
. Это противоречит a
1
> 0, значит z = x.
iii) Пусть дано семейство {x
i
∈ X : i ∈ J}. Тогда F =
∪
i∈J
h(x
i
) ⊂ A
и потому дизъюнктно. По ii) x
i
= sup h(x
i
) и учитывая ассоциативность
точных граней
∨
∈J
x
i
=
∨
i∈J
sup h(x
i
) = sup F ∈ X (см. 1.7 пункт d)). Теорема
доказана.
Итак, в классе атомных б.а полнота и d-правильность совпадают.
14.5. Следствие. Полные атомные булевы алгебры X и Y изоморфны
тогда и только тогда, когда A(X) и A(Y ) равномощны.
Действительно, если f : A(X) → A(Y ) – биекция, то ψ(x) = sup f(h(x)) :
X → Y , где f(h(x)) – образ множества h(x) является изоморфизмом. Об-
ратно, если ψ : X → Y – изоморфизм, то ψ и ψ
−1
переводят атомы в
атомы инъективно. Значит A(X) равномощно ψ(A(X)) ⊂ A(Y ) и A(Y ) рав-
номощно ψ
−1
(A(Y )) ⊂ A(X). По теореме Бернштейна A(X) равномощно
63
а в силу атомности a тогда a ∧ x′ = a. Это означает, что a ≤ x′ a ∈ h(x′ ).
Итак, h – гомоморфизм.
  Если x ̸= y , то либо x ∧ y ′ ̸= 0, либо x′ ∧ y ̸= 0. Если, например, x ∧ y ′ ̸= 0,
то существует атом 0 < a ≤ x ∧ y ′ , a ∈ h(x ∧ y ′ ) = h(x)\h(y), то есть
h(x) ̸= h(y). Значит h инъективно.
  i) Пусть теперь X – d-правильная атомная б.а, ⊂ A. Так как множество
B дизъюнктно, то существует x = sup B ∈ X . Покажем, что h(x) = B .
Действительно, если атом a ∈ B , то a ≤ sup B , то есть B ⊆ h(x). Если атом
a ∈ h(x)\B , то a ≤ sup B влечет a = a ∧ sup B = sup(a ∧ B) = 0 в силу
D3 (теорема 6.6) и дизъюнктности различных атомов. Но это противоречит
a > 0. Итак, h(x) = B , отображение h сюрьективно. Учитывая первую часть
теоремы заключаем, что h – изоморфизм.
  ii) Пусть x ∈ X . Так как h(x) дизъюнктно, то существует z = sup h(x) ∈
X . Так как a ≤ x для любого a ∈ h(x), то z ≤ x. Если в разложении
x = z ∨ (x ∧ z ′ ) элемент x ∧ z ′ > 0, то в силу атомности ба X найдется атом
0 < a1 ≤ x ∧ z ′ . Заметим, что a1 ∈ h(x). Далее из a1 = a1 ∧ x ∧ z ′ = a1 ∧ z ′
следует, что a1 ≤ z ′ и a1 = a1 ∧ z ′ = a1 ∧ inf{a′ : a ∈ h(x)} = 0, так как среди
элементов h(x) есть также и a1 . Это противоречит a1 > 0, значит z = x.
                                                             ∪
  iii) Пусть дано семейство {xi ∈ X : i ∈ J}. Тогда F =        h(xi ) ⊂ A
                                                                     i∈J
и потому дизъюнктно. По ii) xi = sup h(xi ) и учитывая ассоциативность
              ∨      ∨
точных граней   xi =   sup h(xi ) = sup F ∈ X (см. 1.7 пункт d)). Теорема
                 ∈J      i∈J
доказана.
  Итак, в классе атомных б.а полнота и d-правильность совпадают.
  14.5. Следствие. Полные атомные булевы алгебры X и Y изоморфны
тогда и только тогда, когда A(X) и A(Y ) равномощны.
  Действительно, если f : A(X) → A(Y ) – биекция, то ψ(x) = sup f (h(x)) :
X → Y , где f (h(x)) – образ множества h(x) является изоморфизмом. Об-
ратно, если ψ : X → Y – изоморфизм, то ψ и ψ −1 переводят атомы в
атомы инъективно. Значит A(X) равномощно ψ(A(X)) ⊂ A(Y ) и A(Y ) рав-
номощно ψ −1 (A(Y )) ⊂ A(X). По теореме Бернштейна A(X) равномощно

                                         63

Страницы