От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§15. Автоморфизмы в булевой алгебре
15.1. Автоморфизмом б.а X называется биекция A : X → X , сохра-
няющая порядок или (что равносильно) сохраняющая все алгебраические
операции. Множество всех автоморфизмов образует группу, которая будет
обозначаться AutX . Приведем некоторые свойства автоморфизмов.
15.2. Предложение. Пусть X – булева алгебра, Y ⊂ X, A ∈ AutX .
Тогда:
1) A(0) = 0, A(1) = 1, A(sup Y ) = sup A(Y ), A(inf Y ) = inf A(Y );
2) Y – дизъюнктно ⇔ A(Y ) – дизъюнктно;
3) A(Y
d
) = [A(Y )]
d
, Y – компонента ⇔ A(Y ) – компонента;
4) A(X
b
) = X
Ab
, b –атом ⇔ Ab – атом;
5) I – идеал ⇔ A(I) – идеал;
6) I – максимальный идеал ⇔ A(I) – максимальный идеал.
Доказательство. 1) A(0) = A(x∧ x
′
) = Ax∧(Ax)
′
= 0, A(1) = A(x ∨ x
′
) =
Ax ∨ (Ax)
′
= 1. Остальное следует из 1.8 пункт ii).
3) Пусть z ∈ Y
d
. Тогда z ∧ y = 0 для любого y ∈ Y . Следовательно,
Az ∧ Ay = 0, Az ∈ [A(Y )]
d
и значит A(Y
d
) ⊂ [A(Y )]
d
. Обратно, x ∈ [A(Y )]
d
означает, что x ∧ Ay = 0 для любого y ∈ Y . Тогда A
−1
x ∧ y = 0, A
−1
x ∈ Y
d
и x = A(A
−1
x) ∈ A(Y
d
). Итак, [A(Y )]
d
⊂ A(Y
d
).
4) Если u ≤ b, то Au ≤ Ab и значит A(X
b
) ⊂ X
Ab
. Если z ∈ X
Ab
, то z ≤
Ab, A
−1
z ≤ b и значит z = A(A
−1
z) ∈ A(X
b
). Если a – атом, то X
a
= {0, a}
и в силу доказанного A(X
a
) = {0, Aa} = X
Aa
.
5) Если z ≤ Ax, где x ∈ I , то A
−1
z ≤ x и значит A
−1
z ∈ I . Поэтому
z = A(A
−1
z) ∈ A(I). Если же Ax, Ay ∈ A(I), где x, y ∈ I , то x ∨ y ∈ I и
Ax ∨ Ay = A(x ∨ y) ∈ A(I).
6) Если существует собственный идеал J ⊃ A(I), то I ⊂ A
−1
(J), что
противоречит максимальности идеала I .
65
                §15. Автоморфизмы в булевой алгебре


  15.1. Автоморфизмом б.а X называется биекция A : X → X , сохра-
няющая порядок или (что равносильно) сохраняющая все алгебраические
операции. Множество всех автоморфизмов образует группу, которая будет
обозначаться AutX . Приведем некоторые свойства автоморфизмов.

  15.2. Предложение. Пусть X – булева алгебра, Y ⊂ X, A ∈ AutX .
Тогда:
1) A(0) = 0, A(1) = 1, A(sup Y ) = sup A(Y ), A(inf Y ) = inf A(Y );

2) Y – дизъюнктно ⇔ A(Y ) – дизъюнктно;

3) A(Y d ) = [A(Y )]d , Y – компонента ⇔ A(Y ) – компонента;

4) A(Xb ) = XAb , b –атом ⇔ Ab – атом;

5) I – идеал ⇔ A(I) – идеал;

6) I – максимальный идеал ⇔ A(I) – максимальный идеал.

  Доказательство. 1) A(0) = A(x ∧ x′ ) = Ax ∧ (Ax)′ = 0, A(1) = A(x ∨ x′ ) =
Ax ∨ (Ax)′ = 1. Остальное следует из 1.8 пункт ii).
  3) Пусть z ∈ Y d . Тогда z ∧ y = 0 для любого y ∈ Y . Следовательно,
Az ∧ Ay = 0, Az ∈ [A(Y )]d и значит A(Y d ) ⊂ [A(Y )]d . Обратно, x ∈ [A(Y )]d
означает, что x ∧ Ay = 0 для любого y ∈ Y . Тогда A−1 x ∧ y = 0, A−1 x ∈ Y d
и x = A(A−1 x) ∈ A(Y d ). Итак, [A(Y )]d ⊂ A(Y d ).
  4) Если u ≤ b, то Au ≤ Ab и значит A(Xb ) ⊂ XAb . Если z ∈ XAb , то z ≤
Ab, A−1 z ≤ b и значит z = A(A−1 z) ∈ A(Xb ). Если a – атом, то Xa = {0, a}
и в силу доказанного A(Xa ) = {0, Aa} = XAa .
  5) Если z ≤ Ax, где x ∈ I , то A−1 z ≤ x и значит A−1 z ∈ I . Поэтому
z = A(A−1 z) ∈ A(I). Если же Ax, Ay ∈ A(I), где x, y ∈ I , то x ∨ y ∈ I и
Ax ∨ Ay = A(x ∨ y) ∈ A(I).
  6) Если существует собственный идеал J ⊃ A(I), то I ⊂ A−1 (J), что
противоречит максимальности идеала I .

                                      65

Страницы