От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ax
′
∈ A(q)} = {A(q) : (Ax)
′
∈ A(q)} ⊂ {q : (Ax)
′
∈ q} = φ(Ax). Итак,
φ(A
f
A
x) ⊂ φ(Ax), A
f
A
x ≤ Ax для любого x ∈ X . Поскольку A и A
f
A
, то из
неравенства (A
f
A
x)
′
≥ (Ax)
′
cледует A
f
A
(x
′
) ≥ A(x
′
) и значит A
f
A
x ≥ Ax.
Далее равенство f
A
f
= f означает, что для любого максимального идеала
q ∈ Q образ A
f
(q) множества q при автоморфизме A
f
совпадает с f(q).
Пусть x ∈ A
f
(q). Тогда найдется y ∈ q такой, что x = A
f
y. Если x ̸∈ f(q),
то x
′
∈ f(q) и значит f(q) ∈ φ(x) = φ(A
f
y) = f(φ(y)). Это означает, что
существует q
1
∈ φ(y) такой, что f(q) = f(q
1
). Так как f биекция, то q = q
1
∈
φ(y). Но y ∈ q означает q ∈ φ(y
′
). Поэтому q ∈ φ(y) ∩ φ(y
′
) = φ(y ∧ y
′
) = ∅
приводит к противоречию. Итак, A
f
(q) ⊆ f(q). В силу 6) предложения 15.2
A
f
(q) максимален, а значит A
f
(q) = f(q).
Наконец, если A, B ∈ AutX , то f
AB
(q) = AB(q) = A(B(q)) = f
A
(B(q)) =
f
A
(f
B
)(q). Следовательно, f
AB
= f
A
◦ f
B
и отображение A 7→ f
A
является
изоморфизмом группы AutX на группу H(Q).
15.4. Подгруппа автоморфизмов G ⊆ AutX называется эргодической, если
∨
A∈G
Ax = 1 для любого ненулевого x ∈ X . Компонента Y называется G -
инвариантной, если A(Y ) ⊂ Y для любого автоморфизма A ∈ G .
15.5. Предложение. Подгруппа G автоморфизмов булевой алгебры X
эргодическая тогда и только тогда, когда единственной G -инвариантной
компонентой является X .
Доказательство. Необходимость. Пусть Y − G -инвариантная компонента.
Тогда A(Y ) ⊂ Y и A(Y ) является компонентой для любого A ∈ G . Обо-
значим E =
∪
A∈G
A(Y ). Тогда E
dd
⊂ Y
dd
= Y . По условию sup E = 1. По
предложению 9.6 получим Y ⊃ E
dd
= X
E
= X
1
= X .
Достаточность. Пусть x ∈ X\{0}. Положим E = {Ax : A ∈ G}. Тогда
компонента E
dd
является G -инвариантной. Действительно, если A ∈ G , то
A(E) ⊂ E и A(E
dd
) = [A(E)]
dd
⊂ E
dd
в силу предложения 15.2 пункт 3) и
того, что двойное дополнение сохраняет включение. По условию E
dd
= X =
X
1
или E
d
= X
0
. Тогда sup E = 1 по предложению 9.6.
67
Ax′ ∈ A(q)} = {A(q) : (Ax)′ ∈ A(q)} ⊂ {q : (Ax)′ ∈ q} = φ(Ax). Итак,
φ(AfA x) ⊂ φ(Ax), AfA x ≤ Ax для любого x ∈ X . Поскольку A и AfA , то из
неравенства (AfA x)′ ≥ (Ax)′ cледует AfA (x′ ) ≥ A(x′ ) и значит AfA x ≥ Ax.
  Далее равенство fAf = f означает, что для любого максимального идеала
q ∈ Q образ Af (q) множества q при автоморфизме Af совпадает с f (q).
Пусть x ∈ Af (q). Тогда найдется y ∈ q такой, что x = Af y . Если x ̸∈ f (q),
то x′ ∈ f (q) и значит f (q) ∈ φ(x) = φ(Af y) = f (φ(y)). Это означает, что
существует q1 ∈ φ(y) такой, что f (q) = f (q1 ). Так как f биекция, то q = q1 ∈
φ(y). Но y ∈ q означает q ∈ φ(y ′ ). Поэтому q ∈ φ(y) ∩ φ(y ′ ) = φ(y ∧ y ′ ) = ∅
приводит к противоречию. Итак, Af (q) ⊆ f (q). В силу 6) предложения 15.2
Af (q) максимален, а значит Af (q) = f (q).
  Наконец, если A, B ∈ AutX , то fAB (q) = AB(q) = A(B(q)) = fA (B(q)) =
fA (fB )(q). Следовательно, fAB = fA ◦ fB и отображение A 7→ fA является
изоморфизмом группы AutX на группу H(Q).

 15.4. Подгруппа автоморфизмов G ⊆ AutX называется эргодической, если
∨
  Ax = 1 для любого ненулевого x ∈ X . Компонента Y называется G -
A∈G
инвариантной, если A(Y ) ⊂ Y для любого автоморфизма A ∈ G .

  15.5. Предложение. Подгруппа G автоморфизмов булевой алгебры X
эргодическая тогда и только тогда, когда единственной G -инвариантной
компонентой является X .

  Доказательство. Необходимость. Пусть Y − G -инвариантная компонента.
Тогда A(Y ) ⊂ Y и A(Y ) является компонентой для любого A ∈ G . Обо-
             ∪
значим E =     A(Y ). Тогда E dd ⊂ Y dd = Y . По условию sup E = 1. По
              A∈G
предложению 9.6 получим Y ⊃ E dd = XE = X1 = X .
  Достаточность. Пусть x ∈ X\{0}. Положим E = {Ax : A ∈ G}. Тогда
компонента E dd является G -инвариантной. Действительно, если A ∈ G , то
A(E) ⊂ E и A(E dd ) = [A(E)]dd ⊂ E dd в силу предложения 15.2 пункт 3) и
того, что двойное дополнение сохраняет включение. По условию E dd = X =
X1 или E d = X0 . Тогда sup E = 1 по предложению 9.6. 

                                       67

Страницы