От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 68 стр.

  15.6. Замечание. Теорема 15.3 позволяет некоторые вопросы теории б.а
переводить в область топологических вопросов. Например, вопрос о суще-
ствовании б.а X c тривиальной группой AutX сводится к отысканию вполне
несвязного компакта, не имеющего кроме тождественного других гомеомор-
физмов в себя. Такие примеры были построены несколькими авторами в 1951
году.




          §16. Аддитивные функции на булевых алгебрах


  16.1. Пусть X – б.а. Отображение ν : X → R называется зарядом, если
оно аддитивно:

              ∀ x, y ∈ X (x ∧ y = 0 ⇒ ν(x ∨ y) = ν(x) + ν(y))             (9)
                                                             ∨
 Свойство (9) равносильно свойству конечной аддитивности: ν(    x) =
∑                                                           x∈D
  ν(x) для любого конечного дизъюнктного множества D ⊂ X (доказыва-
x∈D
ется по индукции). Ясно, что ν(0) = 0 для любого заряда ν . Множество всех
зарядов на X обозначим через Z(X).
  Заряд µ называется мерой, если µ(x) ≥ 0 для любого x ∈ X . Любая
мера µ является неубывающей: x ≤ y ⇒ µ(x) ≤ µ(y) (см. 26 ◦ ), а также
полуаддитивной: µ(x∨ y) ≤ µ(x)+ µ(y) для любых x, y ∈ X . Действительно,
в силу аддитивности и неубывания µ(x ∨ y) = µ(x) + µ(x′ ∧ y) ≤ µ(x) +
µ(y). Множество всех мер на X обозначим через M (X). Мера µ называется
точной, если µ(x) = 0 ⇔ x = 0.
  Мера s называется состоянием, если s(1) = 1; очевидно, что s(X) ⊆ [0; 1]
для любого состояния s. Множество всех состояний на X обозначим через
S(X). Состояние s называется двузначным, если s(X) = {0, 1}; множество
всех двузначных состояний на X обозначим через S2 (X).
                                                          ∏
  16.2. Напомним, что в декартовом произведении W =            Ts топологиче-
                                                         s∈S

                                    68