От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

15.3. Теорема. Группа AutX булевой алгебры X изоморфна группе H(Q)
всех гомеоморфизмов стоуновского компакта Q в себя.
Доказательство. Заметим, что если f : Q → Q биекция, то прооб-
раз f
−1
[A] ≡ {q ∈ Q : f(q) ∈ A} множества A совпадает с образом
f
−1
(A) ≡ {f
−1
(a) : a ∈ A} при обратном отображении f
−1
. Поэтому ес-
ли f – гомеоморфизм, а множество U открыто-замкнуто, то f(U) также
открыто-замкнуто.
Пусть φ : X → CO(Q) –стоуновский изоморфизм, x ∈ X, f ∈ H(Q).
Так как множество f(φ(x)) открыто-замкнуто, то существует единственный
элемент A
f
x ∈ X такой, что f(φ(x)) = φ(A
f
x). Тогда a ≤ b ⇔ φ(a) ⊆
φ(b) ⇔ f(φ(a)) ⊆ f(φ(b)) ⇔ φ(A
f
a) ⊆ φ(A
f
b) ⇔ A
f
a ≤ A
f
b. В частности,
отсюда следует инъективность отображения A
f
. Пусть x ∈ X , положим
y = A
f
−1
x. Тогда φ(A
f
y) = f(φ(y)) = f(φ(A
f
−1
x)) = f(f
−1
(φ(x)) = φ(x).
Следовательно, x = A
f
(y) и A
f
является сюрьекцией. Итак, A
f
∈ AutX .
Пусть теперь A ∈ AutX . В силу 6) предложения 15.2 образ A(q) ∈ Q при
любом q ∈ Q. Определим отображение f
A
(q) = A(q) = {Ax : x ∈ q} и
покажем, что f
A
∈ H(Q).
Если q
1
̸= q
2
, то ∃x ∈ q
1
\q
2
, что равносильно Ax ∈ A(q
1
)\A(q
2
). Значит
f
A
(q
1
) ̸= f
A
(q
2
). Если q ∈ Q, то для q
1
= A
−1
(q) имеем f
A
(q
1
) = A(A
−1
(q)) =
q. Итак, отображение f
A
– биекция.
Покажем, что прообраз f
−1
A
(M(I)) замкнут для любого идеала I в ба X .
Действительно, множество f
−1
A
(M(I)) = {q ∈ Q : f
A
(q) ∈ M(I)} = {q ∈ Q :
A(q) ⊇ I} = {q ∈ Q : q ⊇ A
−1
(I)} = M(A
−1
(I)) замкнуто, поскольку A
−1
(I)
является идеалом в силу 5) предложения 15.2. Так как обратное отображение
f
−1
A
определяется обратным автоморфизмом A
−1
, а именно f
−1
A
= f
A
−1
, то
f
A
есть гомеоморфизм, f
A
∈ H(Q).
Теперь покажем, что A
f
A
= A, f
A
f
= f . Это будет означать, что отоб-
ражения f 7→ A
f
и A 7→ f
A
взаимно обратны. Действительно, по опре-
делению элемент A
f
A
x таков, что образ f
A
(φ(x)) = φ(A
f
A
x). Для этого
образа имеем f
A
(φ(x)) = {f
A
(q) : q ∈ φ(x)} = {A(q) : x
′
∈ q} = {A(q) :
66
  15.3. Теорема. Группа AutX булевой алгебры X изоморфна группе H(Q)
всех гомеоморфизмов стоуновского компакта Q в себя.

  Доказательство. Заметим, что если f : Q → Q биекция, то прооб-
раз f −1 [A] ≡ {q ∈ Q : f (q) ∈ A} множества A совпадает с образом
f −1 (A) ≡ {f −1 (a) : a ∈ A} при обратном отображении f −1 . Поэтому ес-
ли f – гомеоморфизм, а множество U открыто-замкнуто, то f (U ) также
открыто-замкнуто.
  Пусть φ : X → CO(Q) –стоуновский изоморфизм, x ∈ X, f ∈ H(Q).
Так как множество f (φ(x)) открыто-замкнуто, то существует единственный
элемент Af x ∈ X такой, что f (φ(x)) = φ(Af x). Тогда a ≤ b ⇔ φ(a) ⊆
φ(b) ⇔ f (φ(a)) ⊆ f (φ(b)) ⇔ φ(Af a) ⊆ φ(Af b) ⇔ Af a ≤ Af b. В частности,
отсюда следует инъективность отображения Af . Пусть x ∈ X , положим
y = Af −1 x. Тогда φ(Af y) = f (φ(y)) = f (φ(Af −1 x)) = f (f −1 (φ(x)) = φ(x).
Следовательно, x = Af (y) и Af является сюрьекцией. Итак, Af ∈ AutX .
  Пусть теперь A ∈ AutX . В силу 6) предложения 15.2 образ A(q) ∈ Q при
любом q ∈ Q. Определим отображение fA (q) = A(q) = {Ax : x ∈ q} и
покажем, что fA ∈ H(Q).
  Если q1 ̸= q2 , то ∃x ∈ q1 \q2 , что равносильно Ax ∈ A(q1 )\A(q2 ). Значит
fA (q1 ) ̸= fA (q2 ). Если q ∈ Q, то для q1 = A−1 (q) имеем fA (q1 ) = A(A−1 (q)) =
q . Итак, отображение fA – биекция.
  Покажем, что прообраз fA−1 (M(I)) замкнут для любого идеала I в ба X .
Действительно, множество fA−1 (M(I)) = {q ∈ Q : fA (q) ∈ M(I)} = {q ∈ Q :
A(q) ⊇ I} = {q ∈ Q : q ⊇ A−1 (I)} = M(A−1 (I)) замкнуто, поскольку A−1 (I)
является идеалом в силу 5) предложения 15.2. Так как обратное отображение
fA−1 определяется обратным автоморфизмом A−1 , а именно fA−1 = fA−1 , то
fA есть гомеоморфизм, fA ∈ H(Q).
  Теперь покажем, что AfA = A, fAf = f . Это будет означать, что отоб-
ражения f 7→ Af и A 7→ fA взаимно обратны. Действительно, по опре-
делению элемент AfA x таков, что образ fA (φ(x)) = φ(AfA x). Для этого
образа имеем fA (φ(x)) = {fA (q) : q ∈ φ(x)} = {A(q) : x′ ∈ q} = {A(q) :

                                        66

Страницы