От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(A(Y ).
14.6. Булева алгебра без атомов называется непрерывной. Например, б.а
CO(C) всех открыто-замкнутых подмножеств канторовского множества C
является непрерывной, так как компакт C является пространством Стоуна
для CO(C) и не содержит изолированных точек (см. 10.9 и 14.3).
14.7. Теорема. Пусть X – полная булева алгебра. Тогда существуют
единственные главные идеалы X
u
и X
u
′
такие, что 1) X = X
u
⊕
X
u
′
, 2)
X
u
– атомный идеал, X
u
′
– непрерывный идеал.
Доказательство. Если A(X) = ∅, то положим u = 0. Пусть A = A(X) ̸=
∅. По теореме 13.9 множество A минорантно в компоненте A
chd
. В силу пол-
ноты б.а X существует u = sup A
chd
и A
chd
= X
u
. Тогда по определению
главный идеал X
u
(рассматриваемый здесь как б.а) атомный.
Далее покажем, что A
h
= A ∪ {0}. По определению наследственного ядра
A
h
= {b ∈ X : X
b
⊂ A ∪ {0}} и так как b ∈ X
b
, то A
h
⊂ A ∪ {0}. С другой
стороны, если атом b ∈ A, то X
b
= {0, b} ⊂ A ∪ {0} и значит b ∈ A
h
. Итак,
A ∪ {0} ⊂ A
h
и равенство доказано.
По теореме 13.9 пункт 1) A
chd
⊃ A
h
, а по доказанному A
h
⊃ A. Итак,
A ⊂ X
u
. Тогда A ̸⊂ X
u
′
(если a ∈ A одновременно лежит в X
u
и X
u
′
, то
a = a ∧ a ≤ u ∧ u
′
= 0 что противоречит a > 0). Значит б.а X
u
′
непрерывна.
Разложение вида X = X
u
⊕
X
u
′
справедливо для любого u ∈ X (см. 11.15).
Единственность. Пусть есть еще одно разложение X = X
z
⊕
X
z
′
, где X
z
– атомный, а X
z
′
– непрерывный идеалы. Тогда любой атом a ∈ A не при-
надлежит X
z
′
, что означает a ̸≤ z
′
. Последнее соотношение равносильно
a∧z > 0. Так как a – атом, то a∧z = a и значит a ≤ z . Итак, A ⊂ X
z
. Тогда
A
c
⊃ X
c
z
, A
ch
⊃ X
ch
z
, X
u
= A
chd
⊂ X
chd
z
. Так как множество X
z
d-правильно,
то по теореме 13.9 пункт 3) X
chd
z
= X
h
z
= X
z
. Итак, X
u
⊂ X
z
, u ≤ z. Поменяв
ролями u и z, получим z ≤ u. Таким образом, u = z.
64
(A(Y ).
  14.6. Булева алгебра без атомов называется непрерывной. Например, б.а
CO(C) всех открыто-замкнутых подмножеств канторовского множества C
является непрерывной, так как компакт C является пространством Стоуна
для CO(C) и не содержит изолированных точек (см. 10.9 и 14.3).

  14.7. Теорема. Пусть X – полная булева алгебра. Тогда существуют
                                                          ⊕
единственные главные идеалы Xu и Xu′ такие, что 1) X = Xu Xu′ , 2)
Xu – атомный идеал, Xu′ – непрерывный идеал.

  Доказательство. Если A(X) = ∅, то положим u = 0. Пусть A = A(X) ̸=
∅. По теореме 13.9 множество A минорантно в компоненте Achd . В силу пол-
ноты б.а X существует u = sup Achd и Achd = Xu . Тогда по определению
главный идеал Xu (рассматриваемый здесь как б.а) атомный.
  Далее покажем, что Ah = A ∪ {0}. По определению наследственного ядра
Ah = {b ∈ X : Xb ⊂ A ∪ {0}} и так как b ∈ Xb , то Ah ⊂ A ∪ {0}. С другой
стороны, если атом b ∈ A, то Xb = {0, b} ⊂ A ∪ {0} и значит b ∈ Ah . Итак,
A ∪ {0} ⊂ Ah и равенство доказано.
  По теореме 13.9 пункт 1) Achd ⊃ Ah , а по доказанному Ah ⊃ A. Итак,
A ⊂ Xu . Тогда A ̸⊂ Xu′ (если a ∈ A одновременно лежит в Xu и Xu′ , то
a = a ∧ a ≤ u ∧ u′ = 0 что противоречит a > 0). Значит б.а Xu′ непрерывна.
                           ⊕
Разложение вида X = Xu Xu′ справедливо для любого u ∈ X (см. 11.15).
                                                            ⊕
  Единственность. Пусть есть еще одно разложение X = Xz         Xz ′ , где Xz
– атомный, а Xz ′ – непрерывный идеалы. Тогда любой атом a ∈ A не при-
надлежит Xz ′ , что означает a ̸≤ z ′ . Последнее соотношение равносильно
a∧z > 0. Так как a – атом, то a∧z = a и значит a ≤ z . Итак, A ⊂ Xz . Тогда
Ac ⊃ Xzc , Ach ⊃ Xzch , Xu = Achd ⊂ Xzchd . Так как множество Xz d-правильно,
то по теореме 13.9 пункт 3) Xzchd = Xzh = Xz . Итак, Xu ⊂ Xz , u ≤ z . Поменяв
ролями u и z , получим z ≤ u. Таким образом, u = z .




                                      64

Страницы