От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

аддитивность.
Пусть x, y ∈ X и x ∧ y = 0. Тогда случай q(x) = q(y) = 1 не возможен.
Действительно, это означало бы, что x
′
∈ q, y
′
∈ q. Но тогда x
′
∨ y
′
∈ q и в
силу теоремы 4.4 q ̸∋ (x
′
∨ y
′
)
′
= x ∧ y = 0. Противоречие.
Пусть q(x ∨ y) = 0. Тогда x ∨ y ∈ q и значит x ∈ q и y ∈ q. Поэтому
q(x) = 0 = q(y) и (9) выполнено.
Пусть q(x ∨ y) = 1. Тогда x ∨ y ̸∈ q и значит x
′
∧ y
′
∈ q. Это равносильно
q ⊃ I
x
′
∧y
′
= I
x
′
∩I
y
′
(см. 29
◦
). В силу следствия 7.5 q содержит один из идеалов
I
x
′
, I
y
′
. Поэтому либо x
′
∈ q (тогда y
′
̸∈ q ), либо y
′
∈ q (тогда x
′
̸∈ q ). Итак,
либо x ̸∈ q и y ∈ q , либо y ̸∈ q и x ∈ q . Это влечет выполнение равенства
(9).
Если q
1
, q
2
∈ Q и q
1
̸= q
2
, то найдется x ∈ q
1
\q
2
. Поэтому q
1
(x) = 0 и
q
2
(x) = 1 и значит соответствие q 7→ q(·) инъективно.
Пусть s ∈ S
2
(X). Из неубывания и полуаддитивности s следует, что мно-
жество q
s
≡ {x ∈ X : s(x) = 0} является идеалом. В силу же равенства
1 = s(x) + s(x
′
) и двузначности s выполнено условие 2) теоремы 7.4 и поэто-
му идеал q
s
максимален. Наконец, q
s
(a) = s(a) для любого a ∈ X . Таким
образом, соответствие q 7→ q(·) сюрьективно.
По теореме Тихонова [0; 1]
X
является отделимым компактом. Покажем,
что S
2
(X) является замкнутым подмножеством [0; 1]
X
в топологии произве-
дения τ . Пусть f
α
∈ S
2
(X) (α ∈ A) и f
α
→ f . Это означает, что для любого
x ∈ X
∀ ε ∃ α
0
∈ A ∀ α ∈ A (α ≥ α
0
⇒ |f
α
(x) − f(x)| ≤ ε)
Надо показать, что f ∈ S
2
(X). Так как 0 ≤ f
α
(x) ≤ 1, то 0 ≤ f(x) ≤ 1
и, следовательно, |f
2
α
(x) − f
2
(x)| ≤ 2|f
α
(x) − f(x)|. Таким образом, f
α
(x) =
f
2
α
(x) → f
2
(x) и в силу отделимости f
2
(x) = f(x). Значит f двузначно.
Пусть x, y ∈ X, x ∧ y = 0 и ε произвольное положительное число. Так
как A иерархично, то найдется α
0
∈ A такое, что при α ≥ α
0
одновременно
выполняются три неравенства |f
α
(x) − f(x)| < ε, |f
α
(y) − f(y)| < ε, |f
α
(x ∨
y)−f(x∨y)| < ε. Из этих неравенств, учитывая, что f
α
(x∨y) = f
α
(x)+f
α
(y),
70
аддитивность.
  Пусть x, y ∈ X и x ∧ y = 0. Тогда случай q(x) = q(y) = 1 не возможен.
Действительно, это означало бы, что x′ ∈ q, y ′ ∈ q . Но тогда x′ ∨ y ′ ∈ q и в
силу теоремы 4.4 q ̸∋ (x′ ∨ y ′ )′ = x ∧ y = 0. Противоречие.
  Пусть q(x ∨ y) = 0. Тогда x ∨ y ∈ q и значит x ∈ q и y ∈ q . Поэтому
q(x) = 0 = q(y) и (9) выполнено.
  Пусть q(x ∨ y) = 1. Тогда x ∨ y ̸∈ q и значит x′ ∧ y ′ ∈ q . Это равносильно
q ⊃ Ix′ ∧y′ = Ix′ ∩Iy′ (см. 29 ◦ ). В силу следствия 7.5 q содержит один из идеалов
Ix′ , Iy′ . Поэтому либо x′ ∈ q (тогда y ′ ̸∈ q ), либо y ′ ∈ q (тогда x′ ̸∈ q ). Итак,
либо x ̸∈ q и y ∈ q , либо y ̸∈ q и x ∈ q . Это влечет выполнение равенства
(9).
  Если q1 , q2 ∈ Q и q1 ̸= q2 , то найдется x ∈ q1 \q2 . Поэтому q1 (x) = 0 и
q2 (x) = 1 и значит соответствие q 7→ q(·) инъективно.
  Пусть s ∈ S2 (X). Из неубывания и полуаддитивности s следует, что мно-
жество qs ≡ {x ∈ X : s(x) = 0} является идеалом. В силу же равенства
1 = s(x) + s(x′ ) и двузначности s выполнено условие 2) теоремы 7.4 и поэто-
му идеал qs максимален. Наконец, qs (a) = s(a) для любого a ∈ X . Таким
образом, соответствие q 7→ q(·) сюрьективно.
  По теореме Тихонова [0; 1]X является отделимым компактом. Покажем,
что S2 (X) является замкнутым подмножеством [0; 1]X в топологии произве-
дения τ . Пусть fα ∈ S2 (X) (α ∈ A) и fα → f . Это означает, что для любого
x∈X
             ∀ ε ∃ α0 ∈ A ∀ α ∈ A (α ≥ α0 ⇒ |fα (x) − f (x)| ≤ ε)

  Надо показать, что f ∈ S2 (X). Так как 0 ≤ fα (x) ≤ 1, то 0 ≤ f (x) ≤ 1
и, следовательно, |fα2 (x) − f 2 (x)| ≤ 2|fα (x) − f (x)|. Таким образом, fα (x) =
fα2 (x) → f 2 (x) и в силу отделимости f 2 (x) = f (x). Значит f двузначно.
  Пусть x, y ∈ X, x ∧ y = 0 и ε произвольное положительное число. Так
как A иерархично, то найдется α0 ∈ A такое, что при α ≥ α0 одновременно
выполняются три неравенства |fα (x) − f (x)| < ε, |fα (y) − f (y)| < ε, |fα (x ∨
y)−f (x∨y)| < ε. Из этих неравенств, учитывая, что fα (x∨y) = fα (x)+fα (y),

                                          70

Страницы