От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ских пространств T
s
топологией произведения τ называется слабейшая то-
пология в W , относительно которой все проектирования P
t
((x
s
)) = x
t
: W →
T
t
, (t ∈ S) непрерывны. Пусть в каждом пространстве T
s
выделена база то-
пологии B
s
. Тогда топология τ задается предбазой {U(t) : U ∈ B
t
, t ∈ S},
состоящей из множеств U(t) =
∏
s∈S
U
s
, где U
t
= U и U
s
= T
s
при s ̸= t.
Нас интересует случай, когда все пространства одинаковы: T
s
= T для всех
s ∈ S . В этом случае произведение обозначается
∏
s∈S
T
s
≡ T
S
и его элемен-
ты можно отождествить с отображениями x : S → T, (x
s
)
s∈S
= (x(s))
s∈S
.
Опишем топологию произведения τ в терминах направленностей.
Направленность в топологическом пространстве T называется семейство
(f
α
)
α∈A
, где f
α
∈ T , а A – некоторое направление. Говорят, что направлен-
ность (f
α
)
α∈A
в пространстве T сходится к f ∈ T (f
α
→ f ), если
∀ U(f)∃ α
0
∈ A ∀ α ∈ A (α ≥ α
0
⇒ f
α
∈ U(f));
здесь через U(f) обозначена окрестность точки f ∈ T .
Направленность (f
α
)
α∈A
⊂ T
S
сходится к f в топологии произведения τ
тогда и только тогда, когда f
α
(s) → f(s) для каждого s ∈ S в пространстве
T . Таким образом, топология τ это топология поточечной сходимости.
16.3. Предложение. Пусть Q – множество всех максимальных идеалов
в булевой алгебре X . Для a ∈ X и q ∈ Q положим
q(a) =
{
0, a ∈ q
1, a ̸∈ q.
Тогда q(·) ∈ S
2
(X) и соответствие q 7→ q(·) : Q → S
2
(X) биективно. Бо-
лее того, это отображение является гомеоморфизмом, если наделить Q
стоуновской топологией, а S
2
(X) – индуцированной топологией из произ-
ведения [0; 1]
X
.
Доказательство. Критерием максимальности идеала q является альтер-
натива: либо a ∈ q , либо a
′
∈ q (см. теорема 7.4). Таким образом, для
максимальных идеалов q условие a
′
∈ q равносильно условию a ̸∈ q. Следо-
вательно, отображение q(·) определено на всем X и q(1) = 1. Проверим его
69
ских пространств Ts топологией произведения τ называется слабейшая то-
пология в W , относительно которой все проектирования Pt ((xs )) = xt : W →
Tt , (t ∈ S) непрерывны. Пусть в каждом пространстве Ts выделена база то-
пологии Bs . Тогда топология τ задается предбазой {U (t) : U ∈ Bt , t ∈ S},
                              ∏
состоящей из множеств U (t) =    Us , где Ut = U и Us = Ts при s ̸= t.
                                s∈S
  Нас интересует случай, когда все пространства одинаковы: Ts = T для всех
                                                  ∏
s ∈ S . В этом случае произведение обозначается     Ts ≡ T S и его элемен-
                                                   s∈S
ты можно отождествить с отображениями x : S → T, (xs )s∈S = (x(s))s∈S .
Опишем топологию произведения τ в терминах направленностей.
  Направленность в топологическом пространстве T называется семейство
(fα )α∈A , где fα ∈ T , а A – некоторое направление. Говорят, что направлен-
ность (fα )α∈A в пространстве T сходится к f ∈ T (fα → f ), если
               ∀ U (f )∃ α0 ∈ A ∀ α ∈ A (α ≥ α0 ⇒ fα ∈ U (f ));

здесь через U (f ) обозначена окрестность точки f ∈ T .

  Направленность (fα )α∈A ⊂ T S сходится к f в топологии произведения τ
тогда и только тогда, когда fα (s) → f (s) для каждого s ∈ S в пространстве
T . Таким образом, топология τ это топология поточечной сходимости.

  16.3. Предложение. Пусть Q – множество всех максимальных идеалов
в булевой алгебре X . Для a ∈ X и q ∈ Q положим
                                  {
                                    0, a ∈ q
                           q(a) =
                                    1, a ̸∈ q.
Тогда q(·) ∈ S2 (X) и соответствие q 7→ q(·) : Q → S2 (X) биективно. Бо-
лее того, это отображение является гомеоморфизмом, если наделить Q
стоуновской топологией, а S2 (X) – индуцированной топологией из произ-
ведения [0; 1]X .

  Доказательство. Критерием максимальности идеала q является альтер-
натива: либо a ∈ q , либо a′ ∈ q (см. теорема 7.4). Таким образом, для
максимальных идеалов q условие a′ ∈ q равносильно условию a ̸∈ q . Следо-
вательно, отображение q(·) определено на всем X и q(1) = 1. Проверим его

                                      69

Страницы