От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

получим f(x) + f(y) − 3ε ≤ f(x ∨ y) ≤ f(x) + f(y) + 3ε. Итак, f ∈ S
2
(X).
Так как множество S
2
(X) является замкнутым в [0; 1]
X
, то оно компактно
и отделимо. По определению топологии произведения τ семейство множеств
x
∼
≡ {f ∈ S
2
(X) : f(x) = 1} = {f ∈ S
2
(X) : f(x
′
) = 0}, (x ∈ X)
образует предбазу. Нетрудно показать, что x
∼c
= S
2
(X)\x
∼
= (x
′
)
∼
и
x
∼
∩ y
∼
= (x ∧ y)
∼
. Это означает, что {x
∼
: x ∈ X} является базой
τ , состоящей из открыто-замкнутых множеств. Таким образом, (S
2
(X), τ )
– вполне несвязный отделимый компакт и отображение x 7→ x
∼
является
изоморфизмом б.а X на CO(S
2
(X)). В силу теоремы Стоуна, отображение
q 7→ q(·) : Q → S
2
(X) – гомеоморфизм.
16.4. Предложение. Если на булевой алгебре X существует точная
мера µ, то X счетного типа.
Доказательство. Пусть множество E ⊂ X дизъюнктно и несчетно. Можно
считать, что 0 ̸∈ E . Рассмотрим множества E
n
= {x ∈ E : µ(x) ≥
1
n
}, n ∈ N.
Тогда E =
∞
∪
n=1
E
n
. Действительно, E
n
⊂ E ⇒
∞
∪
n=1
E
n
⊂ E . Обратно, если
x ∈ E , то µ(x) > 0 в силу точности µ. Значит найдется k ∈ N такое, что
µ(x) ≥
1
k
> 0 и, следовательно, x ∈ E
k
⊂
∞
∪
n=1
E
n
.
В силу несчетности E найдется k ∈ N такое, что множество E
k
бесконеч-
но. Для этого k найдем m ∈ N такое, что µ(1) <
m
k
. В множестве E
k
выберем
m точек {x
1
, ..., x
m
} ≡ F, F ⊂ E
k
. Тогда µ(1) ≥ µ(sup F ) =
m
∑
i=1
µ(x
i
) ≥
m
k
>
µ(1). Противоречие.
16.5. Замечание. H. Gaifman в 1964 году построил пример б.а счетного
типа без точных мер. Следовательно, обратное утверждение к предложению
16.4 в общем случае не верно.
16.6. Заряд ν ∈ Z(X) называется вполне аддитивным, если ν(sup E) =
∑
x∈E
ν(x) для любого дизъюнктного E ⊂ X такого, что sup E ∈ X .
Напомним, как определяются бесконечные суммы. Пусть J
E
– идеал всех
конечных подмножеств множества E . Тогда S =
∑
x∈E
ν(x) означает
71
получим f (x) + f (y) − 3ε ≤ f (x ∨ y) ≤ f (x) + f (y) + 3ε. Итак, f ∈ S2 (X).
  Так как множество S2 (X) является замкнутым в [0; 1]X , то оно компактно
и отделимо. По определению топологии произведения τ семейство множеств
x∼ ≡ {f ∈ S2 (X) : f (x) = 1} = {f ∈ S2 (X) : f (x′ ) = 0}, (x ∈ X)
образует предбазу. Нетрудно показать, что x∼c = S2 (X)\x∼ = (x′ )∼ и
x∼ ∩ y ∼ = (x ∧ y)∼ . Это означает, что {x∼ : x ∈ X} является базой
τ , состоящей из открыто-замкнутых множеств. Таким образом, (S2 (X), τ )
– вполне несвязный отделимый компакт и отображение x 7→ x∼ является
изоморфизмом б.а X на CO(S2 (X)). В силу теоремы Стоуна, отображение
q 7→ q(·) : Q → S2 (X) – гомеоморфизм. 

  16.4. Предложение. Если на булевой алгебре X существует точная
мера µ, то X счетного типа.

  Доказательство. Пусть множество E ⊂ X дизъюнктно и несчетно. Можно
считать, что 0 ̸∈ E . Рассмотрим множества En = {x ∈ E : µ(x) ≥ n1 }, n ∈ N.
             ∪
             ∞                                  ∪
                                                ∞
Тогда E =        En . Действительно, En ⊂ E ⇒      En ⊂ E . Обратно, если
            n=1                                   n=1
x ∈ E , то µ(x) > 0 в силу точности µ. Значит найдется k ∈ N такое, что
                                         ∪
                                         ∞
µ(x) ≥ k1 > 0 и, следовательно, x ∈ Ek ⊂   En .
                                           n=1
  В силу несчетности E найдется k ∈ N такое, что множество Ek бесконеч-
но. Для этого k найдем m ∈ N такое, что µ(1) <    m
                                                  k .В множестве Ek выберем
                                                               ∑
                                                               m
m точек {x1 , ..., xm } ≡ F, F ⊂ Ek . Тогда µ(1) ≥ µ(sup F ) =   µ(xi ) ≥ mk >
                                                               i=1
µ(1). Противоречие. 

  16.5. Замечание. H. Gaifman в 1964 году построил пример б.а счетного
типа без точных мер. Следовательно, обратное утверждение к предложению
16.4 в общем случае не верно.

 16.6. Заряд ν ∈ Z(X) называется вполне аддитивным, если ν(sup E) =
∑
  ν(x) для любого дизъюнктного E ⊂ X такого, что sup E ∈ X .
x∈E
  Напомним, как определяются бесконечные суммы. Пусть JE – идеал всех
                                             ∑
конечных подмножеств множества E . Тогда S =    ν(x) означает
                                                   x∈E



                                      71

Страницы