От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

∀ ε > 0 ∃ E
ε
∈ J
E
∀F ∈ J
E
(F ⊃ E
ε
⇒ |S −
∑
x∈F
ν(x)| < ε)
Если G – группа автоморфизмов ба X , то заряд ν называют G -инвари-
антным, если ν(Ax) = ν(x) для любого A ∈ G и любого x ∈ X .
16.7. Теорема. Пусть X – полная булева алгебра, G – эргодическая
группа автоморфизмов. Если на X существует вполне аддитивное G -
инвариантное состояние, то оно единственно.
Доказательство. Пусть ν, µ – пара вполне аддитивных G -инвариантных
состояния на X . Тогда множество E = {x ∈ X : µ(x) > ν(x)} являет-
ся d-правильным: если E
1
⊂ E дизъюнктно, то µ(sup E
1
) =
∑
x∈E
1
µ(x) >
∑
x∈E
1
ν(x) = ν(sup E
1
); sup E
1
∈ E . Аналогично, множество E
c
= {x ∈ X :
µ(x) ≤ ν(x)} также d-правильно. По теореме 13.9 пункт 3) E
h
= E
chd
, E
ch
=
E
hd
.
Предположим, что компоненты E
h
и E
ch
не нулевые: 0 < u ∈ E
h
, 0 <
v ∈ E
ch
. Так как
∨
A∈G
Au = 1, то в силу дистрибутивности D3 имеем v =
v ∧ 1 =
∨
A∈G
(v ∧ Au). Значит найдется автоморфизм A ∈ G такой, что w ≡
v ∧ Au > 0. Таким образом, 0 < w ∈ X
u
⊂ E
c
∪ {0} (последнее включение
из определения наследственного ядра) и 0 < t ≡ A
−1
w = A
−1
v ∧ u ≤ u.
Следовательно, 0 < t ∈ X
u
⊂ E ∪ {0}, t ∈ E . В силу инвариантности
состояний 0 < µ(t) − ν(t) = µ(w) − ν(w) ≤ 0. Противоречие. Итак, хотя
бы одна из компонент E
h
, E
ch
нулевая. Так как компоненты в полной ба
совпадают с главными идеалами, то если E
h
= X
a
, то E
ch
= E
hd
= X
a
′
и
значит X = X
a
⊕ X
a
′
= E
h
⊕ E
ch
(см. 9.2 и 11.15).
Если X = E
h
⊂ E ∪ {0}, то X = E ∪ {0} и значит µ(x) > ν(x) для любого
ненулевого x ∈ X . Но это противоречит равенству µ(1) = 1 = ν(1). Таким
образом, должно быть X = E
ch
⊂ E
c
∪{0} = E
c
; E
c
= X . Итак, µ(x) ≤ ν(x)
для любого x ∈ X . Поменяв ролями µ и ν , получим обратное неравенство.
16.8. Пример. Для б.а P(Ω) всех подмножеств множества Ω. Cтоунов-
ским пространством является Ω, наделенное дискретной топологией. Поэто-
72
                                                      ∑
          ∀ ε > 0 ∃ Eε ∈ JE ∀F ∈ JE (F ⊃ Eε ⇒ |S −          ν(x)| < ε)
                                                      x∈F
  Если G – группа автоморфизмов ба X , то заряд ν называют G -инвари-
антным, если ν(Ax) = ν(x) для любого A ∈ G и любого x ∈ X .

  16.7. Теорема. Пусть X – полная булева алгебра, G – эргодическая
группа автоморфизмов. Если на X существует вполне аддитивное G -
инвариантное состояние, то оно единственно.

  Доказательство. Пусть ν, µ – пара вполне аддитивных G -инвариантных
состояния на X . Тогда множество E = {x ∈ X : µ(x) > ν(x)} являет-
                                                               ∑
ся d-правильным: если E1 ⊂ E дизъюнктно, то µ(sup E1 ) =           µ(x) >
 ∑                                                            x∈E1
    ν(x) = ν(sup E1 ); sup E1 ∈ E . Аналогично, множество E c = {x ∈ X :
x∈E1
µ(x) ≤ ν(x)} также d-правильно. По теореме 13.9 пункт 3) E h = E chd , E ch =
E hd .
  Предположим, что компоненты E h и E ch не нулевые: 0 < u ∈ E h , 0 <
                    ∨
v ∈ E ch . Так как     Au = 1, то в силу дистрибутивности D3 имеем v =
          ∨        A∈G
v∧1 =       (v ∧ Au). Значит найдется автоморфизм A ∈ G такой, что w ≡
         A∈G
v ∧ Au > 0. Таким образом, 0 < w ∈ Xu ⊂ E c ∪ {0} (последнее включение
из определения наследственного ядра) и 0 < t ≡ A−1 w = A−1 v ∧ u ≤ u.
Следовательно, 0 < t ∈ Xu ⊂ E ∪ {0}, t ∈ E . В силу инвариантности
состояний 0 < µ(t) − ν(t) = µ(w) − ν(w) ≤ 0. Противоречие. Итак, хотя
бы одна из компонент E h , E ch нулевая. Так как компоненты в полной ба
совпадают с главными идеалами, то если E h = Xa , то E ch = E hd = Xa′ и
значит X = Xa ⊕ Xa′ = E h ⊕ E ch (см. 9.2 и 11.15).
  Если X = E h ⊂ E ∪ {0}, то X = E ∪ {0} и значит µ(x) > ν(x) для любого
ненулевого x ∈ X . Но это противоречит равенству µ(1) = 1 = ν(1). Таким
образом, должно быть X = E ch ⊂ E c ∪{0} = E c ; E c = X . Итак, µ(x) ≤ ν(x)
для любого x ∈ X . Поменяв ролями µ и ν , получим обратное неравенство.

  16.8. Пример. Для б.а P(Ω) всех подмножеств множества Ω. Cтоунов-
ским пространством является Ω, наделенное дискретной топологией. Поэто-


                                     72

Страницы