От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 61 стр.

38 ◦ . Пусть X б.а и ∅ ̸= M ⊂ X такое, что sup M ∈ X . Показать, что
найдется дизъюнктное E ⊂ X такое, что sup E = sup M и ∀x ∈ E∃y ∈
M (x ≤ y).
39 ◦ . Показать, что булева алгебра полна тогда и только тогда, когда всякое
дизъюнктное подмножество в ней имеет точную верхнюю границу.
40 ◦ . Показать, что σ -полная б.а счетного типа является полной.




           §14. Дискретные и непрерывные булевы алгебры


    14.1. Б.а X называется дискретной (или атомной), если существует дизъ-
юнктное множество A, минорантное в X . Множество A в этом случае явля-
ется множеством всех атомов X . Действительно, если a ∈ A и существует
0 < x ≤ a, то в силу минорантности A найдется a1 ∈ A такое, что 0 < a1 ≤ x.
Но тогда a1 = a1 ∧ a1 ≤ a1 ∧ a = 0. Противоречие. Если же b – атом X , то
опять в силу минорантности A найдется a ∈ A такое, что 0 < a ≤ b. Но
тогда b = a в силу того, что b атом и значит b ∈ A. Далее через A(X) будем
обозначать множество всех атомов б.а X .

    14.2. Предложение. Эквивалентны утверждения:
1) a ∈ A(X); 2) ∀b ∈ X(a ≤ b или a∧b = 0); 3) главный идеал Ia′ максимален.

    Доказательство. 1)⇒ 2). Неравенство a ∧ b ≤ a влечет в силу того, что
a атом a ∧ b = 0 или a ∧ b = a. Последнее равенство равносильно a ≤ b.
2)⇒ 3). Пусть b ∈ X . Если a ≤ b, то b′ ≤ a′ и значит b′ ∈ Ia′ . Условие
a ∧ b = 0 равносильно условию b ≤ a′ и поэтому b ∈ Ia′ . По теореме 4.4 идеал
Ia′ максимален. 3)⇒ 1). Пусть b ≤ a. По теореме 7.4 либо b ∈ Ia′ и тогда
b = b ∧ b ≤ a ∧ a′ = 0, либо b′ ∈ Ia′ , что дает b ≥ a, b = a. Значит a ∈ A(X).


    14.3. Предложение. Пусть φ : X → CO(Q) – стоуновский изоморфизм
булевой алгебры X . Тогда a ∈ A(X) ⇔ card φ(a) = 1. При этом φ(a) =

                                      61