От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

sup E
2
, inf E = (sup E
2
)
′
= inf E
′
2
и E
′
2
⊂ E . Множество E
0
= E
1
∪ E
′
2
–
искомое.
13.6. Часть E б.а X называется d-правильной, если sup E
1
∈ E для лю-
бого дизъюнктного E
1
⊂ E . Например, любой главный идеал X
a
является
d-правильным множеством.
13.7. Лемма. Пусть множество F в полной булевой алгебре X d-
правильно. Тогда F – идеал ⇔ F – наследственно. В этом случае F яв-
ляется компонентой.
Доказательство. Пусть M ⊂ F . В теореме 13.2 возьмем в качестве E саму
б.а X . Тогда существует дизъюнктное M
1
⊂ X такое, что 1) sup M
1
= sup M
и 2) ∀x ∈ M
1
∃y ∈ M(x ≤ y). В частности из 2) в силу наследствен-
ности F следует, что M
1
⊂ F . В силу d-правильности F получим, что
sup M = sup M
1
∈ F . Итак, F является идеалом. Теперь возьмем M = F ;
тогда sup F ∈ F . Следовательно, F = X
sup F
есть главный идеал, а значит
компонента.
Пусть E ⊂ X , тогда множество E ∪ {0} ̸= ∅ содержит наследственные
подмножества, например {0}.
13.8. Лемма. Среди наследственных подмножеств множества E ∪ {0}
существует наибольшее, а именно E
h
= {a ∈ X : X
a
⊂ E ∪ {0}}.
Действительно, E
h
наследственно: b ≤ a ∈ E
h
⇒ X
b
⊂ X
a
⊂ E ∪ {0} ⇒
b ∈ E
h
. Пусть B наследственно и B ⊂ E ∪ {0}. Если b ∈ B , то в силу
наследственности X
b
⊂ B ⊂ E ∪ {0} и поэтому B ⊂ E
h
. Заметим, что всегда
0 ∈ E
h
.
Множество E
h
называется наследственным ядром множества E .
13.9. Теорема. Пусть X – полная булева алгебра, E ⊂ X . Тогда спра-
ведливы утверждения:
1) E
h
дизъюнктно E
ch
; 2) E минорантно в E
chd
; 3) если E d-правильно,
то E
h
= E
chd
; 4) если E компонента, то E = E
h
, E
d
= E
ch
.
59
sup E2 , inf E = (sup E2 )′ = inf E2′ и E2′ ⊂ E . Множество E0 = E1 ∪ E2′ –
искомое. 

  13.6. Часть E б.а X называется d-правильной, если sup E1 ∈ E для лю-
бого дизъюнктного E1 ⊂ E . Например, любой главный идеал Xa является
d-правильным множеством.

  13.7. Лемма. Пусть множество F в полной булевой алгебре X d-
правильно. Тогда F – идеал ⇔ F – наследственно. В этом случае F яв-
ляется компонентой.

  Доказательство. Пусть M ⊂ F . В теореме 13.2 возьмем в качестве E саму
б.а X . Тогда существует дизъюнктное M1 ⊂ X такое, что 1) sup M1 = sup M
и 2) ∀x ∈ M1 ∃y ∈ M (x ≤ y). В частности из 2) в силу наследствен-
ности F следует, что M1 ⊂ F . В силу d-правильности F получим, что
sup M = sup M1 ∈ F . Итак, F является идеалом. Теперь возьмем M = F ;
тогда sup F ∈ F . Следовательно, F = Xsup F есть главный идеал, а значит
компонента.

  Пусть E ⊂ X , тогда множество E ∪ {0} ̸= ∅ содержит наследственные
подмножества, например {0}.

  13.8. Лемма. Среди наследственных подмножеств множества E ∪ {0}
существует наибольшее, а именно E h = {a ∈ X : Xa ⊂ E ∪ {0}}.
  Действительно, E h наследственно: b ≤ a ∈ E h ⇒ Xb ⊂ Xa ⊂ E ∪ {0} ⇒
b ∈ E h . Пусть B наследственно и B ⊂ E ∪ {0}. Если b ∈ B , то в силу
наследственности Xb ⊂ B ⊂ E ∪ {0} и поэтому B ⊂ E h . Заметим, что всегда
0 ∈ Eh .
  Множество E h называется наследственным ядром множества E .

  13.9. Теорема. Пусть X – полная булева алгебра, E ⊂ X . Тогда спра-
ведливы утверждения:
1) E h дизъюнктно E ch ;    2) E минорантно в E chd ; 3) если E d-правильно,
то E h = E chd ;   4) если E компонента, то E = E h , E d = E ch .


                                       59

Страницы