От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

условие a ≤ b равносильно a ∧ b
′
= 0. Следовательно, один из элементов a
или b
′
равен 0.
Приведем пример независимого семейства подалгебр. Пусть A
t
является
алгеброй подмножеств в множестве Ω
t
для каждого индекса t ∈ T . Цилин-
дрическим множеством в декартовом произведении Ω =
∏
t∈T
Ω
t
называется
множество вида C
s
(A) = {(ω
t
) ∈ Ω : ω
s
∈ A}, где A ∈ A
s
и s ∈ T . Ясно, что
семейство A
∗
s
= {C
s
(A) : A ∈ A
s
} является алгеброй множеств в Ω. Алгебра
A = a(
∪
s∈T
A
∗
s
) называется алгеброй цилиндрических множеств в Ω.
Семейство подалгебр {A
∗
s
: s ∈ T } алгебры A является независимым.
Действительно, пусть цилиндрические множества C
s
1
(A
1
), ..., C
s
n
(A
n
) не пу-
сты. Тогда не пустыми будут также множества A
1
, ..., A
n
. Рассмотрим вектор
ω = (ω
t
) у которого ω
s
1
∈ A
1
, ..., ω
s
n
∈ A
n
. Тогда ω ∈
n
∩
i=1
C
s
i
(A
i
).
12.6. Предложение. Пусть {X
t
: t ∈ T } – независимое семейство по-
далгебр булевой алгебры X и h
t
: X
t
→ Y – гомоморфизм в булеву алгебру
Y для каждого t ∈ T . Тогда существует их общее продолжение до гомо-
морфизма h : a(
∪
t∈T
X
t
) → Y такого, что h(a) = h
t
(a) для любого a ∈ X
t
и
любого t ∈ T .
Доказательство. Если a
i
∈ X
t
i
, t
i
̸= t
j
(i = 1, ..., n) и a
1
∧ ... ∧ a
n
= 0,
то в силу независимости найдется индекс j ∈ {1, 2, ..., n} такой, что a
j
= 0.
Тогда h
t
j
(a
j
) = 0 и значит h
t
1
(a
1
)∧...∧h
t
n
(a
n
) = 0. Итак, выполнено условие
предложения 12.4 и, следовательно, семейство гомоморфизмов {h
t
: t ∈ T }
имеет общее продолжение до гомоморфизма из a(
∪
t∈T
X
t
) в ба Y .
12.7. Следствие. Пусть {X
t
} и {Y
t
}(t ∈ T ) – два независимых семей-
ства подалгебр в булевых алгебрах X и Y соответственно и h
t
: X
t
→ Y
t
–
изоморфизм для каждого t ∈ T . Тогда существует их общее продолжение
до изоморфизма h : a(
∪
t∈T
X
t
) → a(
∪
t∈T
Y
t
).
12.8. Пусть X
t
: t ∈ T – семейство невырожденных б.а. Булевым произве-
дением б.а X
t
называется пара (X, {h
t
: t ∈ T }), где
56
условие a ≤ b равносильно a ∧ b′ = 0. Следовательно, один из элементов a
или b′ равен 0.
  Приведем пример независимого семейства подалгебр. Пусть At является
алгеброй подмножеств в множестве Ωt для каждого индекса t ∈ T . Цилин-
                                                     ∏
дрическим множеством в декартовом произведении Ω =      Ωt называется
                                                                   t∈T
множество вида Cs (A) = {(ωt ) ∈ Ω : ωs ∈ A}, где A ∈ As и s ∈ T . Ясно, что
семейство A∗s = {Cs (A) : A ∈ As } является алгеброй множеств в Ω. Алгебра
       ∪
A = a( A∗s ) называется алгеброй цилиндрических множеств в Ω.
       s∈T
  Семейство подалгебр {A∗s : s ∈ T } алгебры A является независимым.
Действительно, пусть цилиндрические множества Cs1 (A1 ), ..., Csn (An ) не пу-
сты. Тогда не пустыми будут также множества A1 , ..., An . Рассмотрим вектор
                                                          ∩
                                                          n
ω = (ωt ) у которого ωs1 ∈ A1 , ..., ωsn ∈ An . Тогда ω ∈   Csi (Ai ).
                                                             i=1
  12.6. Предложение. Пусть {Xt : t ∈ T } – независимое семейство по-
далгебр булевой алгебры X и ht : Xt → Y – гомоморфизм в булеву алгебру
Y для каждого t ∈ T . Тогда существует их общее продолжение до гомо-
               ∪
морфизма h : a( Xt ) → Y такого, что h(a) = ht (a) для любого a ∈ Xt и
                  t∈T
любого t ∈ T .

  Доказательство. Если ai ∈ Xti , ti ̸= tj (i = 1, ..., n) и a1 ∧ ... ∧ an = 0,
то в силу независимости найдется индекс j ∈ {1, 2, ..., n} такой, что aj = 0.
Тогда htj (aj ) = 0 и значит ht1 (a1 ) ∧ ... ∧ htn (an ) = 0. Итак, выполнено условие
предложения 12.4 и, следовательно, семейство гомоморфизмов {ht : t ∈ T }
                                                ∪
имеет общее продолжение до гомоморфизма из a( Xt ) в ба Y .
                                                       t∈T
  12.7. Следствие. Пусть {Xt } и {Yt }(t ∈ T ) – два независимых семей-
ства подалгебр в булевых алгебрах X и Y соответственно и ht : Xt → Yt –
изоморфизм для каждого t ∈ T . Тогда существует их общее продолжение
                     ∪          ∪
до изоморфизма h : a( Xt ) → a( Yt ).
                        t∈T           t∈T
  12.8. Пусть Xt : t ∈ T – семейство невырожденных б.а. Булевым произве-
дением б.а Xt называется пара (X, {ht : t ∈ T }), где


                                            56

Страницы