От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

11.2. Подалгебры. Часть E б.а X называется булевой подалгеброй (или
короче подалгеброй), если ∀a, b ∈ E (a∨b, a
′
∈ E). Очевидно, что пересечение
любого семейства подалгебр снова подалгебра. Поэтому для любой части Y ⊂
X существует наименьшая подалгебра a(Y ), содержащая Y . Элементы из Y
называются образующими подалгебры a(Y ).
Обозначим Y
′
= {a
′
: a ∈ Y }, Y
∨
= {∨
n
i=1
a
i
: a
i
∈ Y, n ∈ N}, Y
∧
=
{∧
n
i=1
a
i
: a
i
∈ Y, n ∈ N}. Отправляясь от множества Y , достаточно трех
последовательных расширений множества Y , чтобы получить подалгебру
a(Y ):
11.3. Предложение. a(Y ) = (Y ∪ Y
′
)
∧∨
.
Доказательство. Любой элемент z ∈ (Y ∪ Y
′
)
∧∨
имеет вид
z =
s
i=1
(
r
i
j=1
y
i,j
), (5)
где y
i,j
∈ Y ∪ Y
′
, s, r
i
∈ N. Поэтому точная верхняя граница элемен-
тов вида (5) имеет такой же вид. Используя дистрибутивность, получим
z
′
=
s
i=1
(
r
i
j=1
y
′
i,j
) =
r
1
j
1
=1
r
2
j
2
=1
...
r
s
j
s
=1
(y
′
1,j
1
∧ y
′
2,j
2
... ∧ y
′
s,j
s
). Поскольку элементы
y
′
1,j
1
, y
′
2,j
2
, ..., y
′
s,j
s
∈ Y ∪ Y
′
, то z
′
∈ (Y ∪ Y
′
)
∧∨
. Итак, (Y ∪ Y
′
)
∧∨
является
подалгеброй, содержащей Y и, следовательно, (Y ∪ Y
′
)
∧∨
⊃ a(Y ). Обратно,
если E подалгебра и E ⊃ Y , то E содержит любой элемент z вида (5).
11.4. Следствие. Подмножество Y - конечно (соотв. счетно) ⇔ a(Y )
- конечно (соотв. счетно)
11.5. Простейшие подалгебры вида a(Y ) получаются, если подмножество
Y = {y
1
, ..., y
n
} образует разбиение единицы: y
i
∧ y
j
= 0(i ̸= j), ∨
n
i=1
y
i
= 1.
Тогда a(Y ) = {
j∈J
y
j
: J ⊂ {1, 2, ..., n}}. Действительно, в этом случае
(
j∈J
y
j
)
′
=
j∈J
c
y
j
, где J
c
= {1, 2, ..., n}\J . Значит каждый элемент a(Y ) за-
дается некоторым подмножеством J ⊂ {1, 2, ..., n} и поэтому card a(Y ) =
2
card Y
. Мы покажем, что любая конечная б.а порождается некоторым разби-
ением единицы.
47
   11.2. Подалгебры. Часть E б.а X называется булевой подалгеброй (или
короче подалгеброй), если ∀a, b ∈ E (a∨b, a′ ∈ E). Очевидно, что пересечение
любого семейства подалгебр снова подалгебра. Поэтому для любой части Y ⊂
X существует наименьшая подалгебра a(Y ), содержащая Y . Элементы из Y
называются образующими подалгебры a(Y ).
   Обозначим Y ′ = {a′ : a ∈ Y }, Y ∨ = {∨ni=1 ai : ai ∈ Y, n ∈ N}, Y ∧ =
{∧ni=1 ai : ai ∈ Y, n ∈ N}. Отправляясь от множества Y , достаточно трех
последовательных расширений множества Y , чтобы получить подалгебру
a(Y ):
   11.3. Предложение. a(Y ) = (Y ∪ Y ′ )∧∨ .
   Доказательство. Любой элемент z ∈ (Y ∪ Y ′ )∧∨ имеет вид

                                                   ∨
                                                   s ∧
                                                     ri
                                                z = ( yi,j ),                          (5)
                                                        i=1 j=1

где yi,j ∈ Y ∪ Y ′ , s, ri ∈ N. Поэтому точная верхняя граница элемен-
тов вида (5) имеет такой же вид. Используя дистрибутивность, получим
 ′
     ∧s ∨ri
            ′
                   ∨
                   r1 ∨r2     ∨
                              rs
                                   ′       ′           ′
z =    ( yi,j ) =         ...    (y1,j1
                                        ∧ y2,j2
                                                ... ∧ ys,js
                                                            ). Поскольку элементы
          i=1 j=1                j1 =1 j2 =1   js =1
 ′         ′            ′
y1,j1
      ,   y2,j2
                , ..., ys,js
                               ∈ Y ∪ Y , то z ∈ (Y ∪ Y ′ )∧∨ . Итак, (Y ∪ Y ′ )∧∨ является
                                           ′        ′

подалгеброй, содержащей Y и, следовательно, (Y ∪ Y ′ )∧∨ ⊃ a(Y ). Обратно,
если E подалгебра и E ⊃ Y , то E содержит любой элемент z вида (5).

   11.4. Следствие. Подмножество Y - конечно (соотв. счетно) ⇔ a(Y )
- конечно (соотв. счетно)

   11.5. Простейшие подалгебры вида a(Y ) получаются, если подмножество
Y = {y1 , ..., yn } образует разбиение единицы: yi ∧ yj = 0(i ̸= j), ∨ni=1 yi = 1.
                       ∨
Тогда a(Y ) = { yj : J ⊂ {1, 2, ..., n}}. Действительно, в этом случае
 ∨           ∨        j∈J
( yj )′ =         yj , где J c = {1, 2, ..., n}\J . Значит каждый элемент a(Y ) за-
 j∈J              j∈J c
дается некоторым подмножеством J ⊂ {1, 2, ..., n} и поэтому card a(Y ) =
2card Y . Мы покажем, что любая конечная б.а порождается некоторым разби-
ением единицы.

                                                          47

Страницы