ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
является базой τ
C
, состоящей из открыто-замкнутых множеств. Действи-
тельно, существует достаточно малое ε > 0 такое, что
[
a
k
3
n
;
a
k
+1
3
n
]
∩ C =
(
a
k
3
n
− ε;
a
k
+1
3
n
+ ε
)
∩C и поэтому эти множества открыто-замкнуты в τ
C
. Далее
пусть x ∈ C и U(x) = (x − ε; x + ε) ∩ C, ε > 0 – произвольная окрестность
этой точки в топологии τ
C
. Пусть n такое, что
1
3
n
<
ε
2
, а число k ∈ J
n
такое,
что x ∈
[
a
k
3
n
;
a
k
+1
3
n
]
. Тогда
[
a
k
3
n
;
a
k
+1
3
n
]
∩ C ⊂ U(x).
Таким образом, (C, τ
C
) является пространством Стоуна булевой алгебры
всех открыто-замкнутых подмножеств CO((C, τ
C
).
10.10. Теорема. В упорядоченном по включению множестве U положим
U
′
= U
c◦
. Тогда (U, ⊆,
′
, ∅, T ) есть полная булева алгебра.
Доказательство. Пусть {U
i
} ⊆ U . Покажем, что ∨U
i
= (∪U
i
)
−◦
. Действи-
тельно, U
j
⊆ ∪U
i
влечет U
j
= U
−◦
j
⊆ (∪U
i
)
−◦
. Следовательно, (∪U
i
)
−◦
есть
верхняя граница для семейства {U
i
}. Если Z ∈ U и Z ⊇ U
i
для всех i, то
Z ⊇ ∪U
i
. Значит Z = Z
−◦
⊇ (∪U
i
)
−◦
и (∪U
i
)
−◦
есть наименьшая верхняя
граница для семейства {U
i
}. Аналогично доказывается ∧U
i
= (∩U
i
)
−◦
. Заме-
тим также, что в силу 3) предложения 10.7, для любого конечного семейства
{U
i
: i = 1, 2, ..., n} справедливо U
1
∧ ... ∧ U
n
= U
1
∩ ... ∩ U
n
.
Итак, U – полная решетка. Покажем, что в U выполнена аксиома дистри-
бутивности D1: U
1
∧(U
2
∨U
3
) = (U
1
∧U
2
)∨(U
1
∧U
3
). Достаточно установить
включение U
1
∧ (U
2
∨ U
3
) ⊆ (U
1
∧ U
2
) ∨ (U
1
∧ U
3
), которое равносильно сле-
дующему: U
1
∩ (U
2
∪ U
3
)
−◦
⊆ [(U
1
∩ U
2
) ∪ (U
1
∩ U
3
)]
−◦
= [(U
1
∩ (U
2
∪ U
3
)]
−◦
.
Так как U
1
∩ (U
2
∪ U
3
)
−◦
= [(U
1
∩ (U
2
∪ U
3
)
−
]
◦
, то достаточно проверить, что
U
1
∩ (U
2
∪ U
3
)
−
⊆ [(U
1
∩ (U
2
∪ U
3
)]
−
. Но включение такого вида было установ-
лено в доказательстве второго утверждения леммы 10.6 (см. (4); в нем надо
положить U = U
1
и A = U
2
∪ U
3
).
Покажем, что множество U
c◦
является дополнением к U . В самом деле,
с учетом предложения 10.7, U ∧ U
c◦
= U ∩ U
c◦
⊆ U ∩ U
c
= ∅; U ∨ U
c◦
=
(U ∪ U
c◦
)
−◦
= (U
−
∪ U
c◦−
)
◦
= [(U
c
)
◦−
∪ U
−
]
◦
= [U
c
∪ U
−
]
◦
⊇ T
◦
= T . Итак, U
булева алгебра.
45
является базой τC , состоящей из открыто-замкнутых множеств. Действи- [ ] тельно, существует достаточно малое ε > 0 такое, что 3ank ; ak3+1 n ∩C = ( ak ) 3n − ε; 3n + ε ∩C и поэтому эти множества открыто-замкнуты в τC . Далее ak +1 пусть x ∈ C и U (x) = (x − ε; x + ε) ∩ C, ε > 0 – произвольная окрестность этой точки в топологии τC . Пусть n такое, что 1 3n < 2ε , а число k ∈ Jn такое, [ ] [ ak ak +1 ] что x ∈ 3ank ; ak3+1 n . Тогда 3n ; 3n ∩ C ⊂ U (x). Таким образом, (C, τC ) является пространством Стоуна булевой алгебры всех открыто-замкнутых подмножеств CO((C, τC ). 10.10. Теорема. В упорядоченном по включению множестве U положим ′ U ′ = U c◦ . Тогда (U, ⊆, , ∅, T ) есть полная булева алгебра. Доказательство. Пусть {Ui } ⊆ U . Покажем, что ∨Ui = (∪Ui )−◦ . Действи- тельно, Uj ⊆ ∪Ui влечет Uj = Uj−◦ ⊆ (∪Ui )−◦ . Следовательно, (∪Ui )−◦ есть верхняя граница для семейства {Ui }. Если Z ∈ U и Z ⊇ Ui для всех i, то Z ⊇ ∪Ui . Значит Z = Z −◦ ⊇ (∪Ui )−◦ и (∪Ui )−◦ есть наименьшая верхняя граница для семейства {Ui }. Аналогично доказывается ∧Ui = (∩Ui )−◦ . Заме- тим также, что в силу 3) предложения 10.7, для любого конечного семейства {Ui : i = 1, 2, ..., n} справедливо U1 ∧ ... ∧ Un = U1 ∩ ... ∩ Un . Итак, U – полная решетка. Покажем, что в U выполнена аксиома дистри- бутивности D1: U1 ∧ (U2 ∨ U3 ) = (U1 ∧ U2 ) ∨ (U1 ∧ U3 ). Достаточно установить включение U1 ∧ (U2 ∨ U3 ) ⊆ (U1 ∧ U2 ) ∨ (U1 ∧ U3 ), которое равносильно сле- дующему: U1 ∩ (U2 ∪ U3 )−◦ ⊆ [(U1 ∩ U2 ) ∪ (U1 ∩ U3 )]−◦ = [(U1 ∩ (U2 ∪ U3 )]−◦ . Так как U1 ∩ (U2 ∪ U3 )−◦ = [(U1 ∩ (U2 ∪ U3 )− ]◦ , то достаточно проверить, что U1 ∩ (U2 ∪ U3 )− ⊆ [(U1 ∩ (U2 ∪ U3 )]− . Но включение такого вида было установ- лено в доказательстве второго утверждения леммы 10.6 (см. (4); в нем надо положить U = U1 и A = U2 ∪ U3 ). Покажем, что множество U c◦ является дополнением к U . В самом деле, с учетом предложения 10.7, U ∧ U c◦ = U ∩ U c◦ ⊆ U ∩ U c = ∅; U ∨ U c◦ = (U ∪ U c◦ )−◦ = (U − ∪ U c◦− )◦ = [(U c )◦− ∪ U − ]◦ = [U c ∪ U − ]◦ ⊇ T ◦ = T . Итак, U булева алгебра. 45
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »