От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 45 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

является базой τ
C
, состоящей из открыто-замкнутых множеств. Действи-
тельно, существует достаточно малое ε > 0 такое, что
[
a
k
3
n
;
a
k
+1
3
n
]
C =
(
a
k
3
n
ε;
a
k
+1
3
n
+ ε
)
C и поэтому эти множества открыто-замкнуты в τ
C
. Далее
пусть x C и U(x) = (x ε; x + ε) C, ε > 0 произвольная окрестность
этой точки в топологии τ
C
. Пусть n такое, что
1
3
n
<
ε
2
, а число k J
n
такое,
что x
[
a
k
3
n
;
a
k
+1
3
n
]
. Тогда
[
a
k
3
n
;
a
k
+1
3
n
]
C U(x).
Таким образом, (C, τ
C
) является пространством Стоуна булевой алгебры
всех открыто-замкнутых подмножеств CO((C, τ
C
).
10.10. Теорема. В упорядоченном по включению множестве U положим
U
= U
c
. Тогда (U, ,
, , T ) есть полная булева алгебра.
Доказательство. Пусть {U
i
} U . Покажем, что U
i
= (U
i
)
−◦
. Действи-
тельно, U
j
U
i
влечет U
j
= U
−◦
j
(U
i
)
−◦
. Следовательно, (U
i
)
−◦
есть
верхняя граница для семейства {U
i
}. Если Z U и Z U
i
для всех i, то
Z U
i
. Значит Z = Z
−◦
(U
i
)
−◦
и (U
i
)
−◦
есть наименьшая верхняя
граница для семейства {U
i
}. Аналогично доказывается U
i
= (U
i
)
−◦
. Заме-
тим также, что в силу 3) предложения 10.7, для любого конечного семейства
{U
i
: i = 1, 2, ..., n} справедливо U
1
... U
n
= U
1
... U
n
.
Итак, U полная решетка. Покажем, что в U выполнена аксиома дистри-
бутивности D1: U
1
(U
2
U
3
) = (U
1
U
2
)(U
1
U
3
). Достаточно установить
включение U
1
(U
2
U
3
) (U
1
U
2
) (U
1
U
3
), которое равносильно сле-
дующему: U
1
(U
2
U
3
)
−◦
[(U
1
U
2
) (U
1
U
3
)]
−◦
= [(U
1
(U
2
U
3
)]
−◦
.
Так как U
1
(U
2
U
3
)
−◦
= [(U
1
(U
2
U
3
)
]
, то достаточно проверить, что
U
1
(U
2
U
3
)
[(U
1
(U
2
U
3
)]
. Но включение такого вида было установ-
лено в доказательстве второго утверждения леммы 10.6 (см. (4); в нем надо
положить U = U
1
и A = U
2
U
3
).
Покажем, что множество U
c
является дополнением к U . В самом деле,
с учетом предложения 10.7, U U
c
= U U
c
U U
c
= ; U U
c
=
(U U
c
)
−◦
= (U
U
c◦−
)
= [(U
c
)
◦−
U
]
= [U
c
U
]
T
= T . Итак, U
булева алгебра.
45
является базой τC , состоящей из открыто-замкнутых множеств. Действи-
                                                        [         ]
тельно, существует достаточно малое ε > 0 такое, что 3ank ; ak3+1
                                                               n    ∩C =
( ak            )
  3n − ε; 3n + ε ∩C и поэтому эти множества открыто-замкнуты в τC . Далее
         ak +1

пусть x ∈ C и U (x) = (x − ε; x + ε) ∩ C, ε > 0 – произвольная окрестность
этой точки в топологии τC . Пусть n такое, что              1
                                                           3n   < 2ε , а число k ∈ Jn такое,
        [            ]         [ ak ak +1 ]
что x ∈ 3ank ; ak3+1
                  n    . Тогда   3n ; 3n    ∩ C ⊂ U (x).
  Таким образом, (C, τC ) является пространством Стоуна булевой алгебры
всех открыто-замкнутых подмножеств CO((C, τC ).

  10.10. Теорема. В упорядоченном по включению множестве U положим
                            ′
U ′ = U c◦ . Тогда (U, ⊆, , ∅, T ) есть полная булева алгебра.
  Доказательство. Пусть {Ui } ⊆ U . Покажем, что ∨Ui = (∪Ui )−◦ . Действи-
тельно, Uj ⊆ ∪Ui влечет Uj = Uj−◦ ⊆ (∪Ui )−◦ . Следовательно, (∪Ui )−◦ есть
верхняя граница для семейства {Ui }. Если Z ∈ U и Z ⊇ Ui для всех i, то
Z ⊇ ∪Ui . Значит Z = Z −◦ ⊇ (∪Ui )−◦ и (∪Ui )−◦ есть наименьшая верхняя
граница для семейства {Ui }. Аналогично доказывается ∧Ui = (∩Ui )−◦ . Заме-
тим также, что в силу 3) предложения 10.7, для любого конечного семейства
{Ui : i = 1, 2, ..., n} справедливо U1 ∧ ... ∧ Un = U1 ∩ ... ∩ Un .
  Итак, U – полная решетка. Покажем, что в U выполнена аксиома дистри-
бутивности D1: U1 ∧ (U2 ∨ U3 ) = (U1 ∧ U2 ) ∨ (U1 ∧ U3 ). Достаточно установить
включение U1 ∧ (U2 ∨ U3 ) ⊆ (U1 ∧ U2 ) ∨ (U1 ∧ U3 ), которое равносильно сле-
дующему: U1 ∩ (U2 ∪ U3 )−◦ ⊆ [(U1 ∩ U2 ) ∪ (U1 ∩ U3 )]−◦ = [(U1 ∩ (U2 ∪ U3 )]−◦ .
Так как U1 ∩ (U2 ∪ U3 )−◦ = [(U1 ∩ (U2 ∪ U3 )− ]◦ , то достаточно проверить, что
U1 ∩ (U2 ∪ U3 )− ⊆ [(U1 ∩ (U2 ∪ U3 )]− . Но включение такого вида было установ-
лено в доказательстве второго утверждения леммы 10.6 (см. (4); в нем надо
положить U = U1 и A = U2 ∪ U3 ).
  Покажем, что множество U c◦ является дополнением к U . В самом деле,
с учетом предложения 10.7, U ∧ U c◦ = U ∩ U c◦ ⊆ U ∩ U c = ∅; U ∨ U c◦ =
(U ∪ U c◦ )−◦ = (U − ∪ U c◦− )◦ = [(U c )◦− ∪ U − ]◦ = [U c ∪ U − ]◦ ⊇ T ◦ = T . Итак, U
булева алгебра.


                                            45