От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Из леммы 9.5. следует, что если E максимальный идеал, не являющийся
компонентой, то E
dd
= X .
9.6. Предложение. Эквивалентны:
i) a = sup F , ii) X
F
= X
a
, iii) X
a
′
= F
d
.
Доказательство. i) ⇒ ii): По лемме 9.3. a ∈ F
dd
, a
′
∈ F
d
. Поэтому X
a
⊂
F
dd
, X
a
′
⊂ F
d
и в силу свойства 7) пункта 9.2. X
a
= (X
a
′
)
d
⊃ F
dd
. Итак,
X
a
= F
dd
= X
F
.
ii) ⇒ iii): Пусть X
F
= X
a
. Тогда X
a
′
= (X
a
)
d
= (X
F
)
d
= (F
dd
)
d
= F
d
.
iii) ⇒ i): По условию a
′
∈ F
d
. По свойству 7) пункта 9.2. X
a
= (X
a
′
)
d
=
F
dd
, a ∈ F
dd
. По лемме 9.3. a = sup F и предложение доказано.
9.7. Теорема. Пусть X –булева алгебра,
˜
X – множество всех компо-
нент X . Тогда (
˜
X, ⊆) есть полная булева алгебра.
Доказательство. Если E ⊂
˜
X , то в силу свойства 10) пункта 6.2.
∧
E∈E
E =
∩
E∈E
E
dd
= (
∪
E∈E
E
d
)
d
. В силу леммы 9.5.
∨
E∈E
E = X
∪
E∈E
E
= (
∪
E∈E
E)
dd
. Итак,
˜
X
есть полная решётка, в которой
˜
0 = {0},
˜
1 = X .
Покажем, что E
d
есть дополнение в
˜
X к E . Действительно, E
d
∧E = E
d
∩
E = 0 =
˜
0. Далее в силу 10) пункта 9.2. (E ∪ E
d
)
d
= E
d
∩ E
dd
= E
d
∩ E = 0.
Поэтому E ∨ E
d
= (E ∪ E
d
)
dd
= {0}
d
= X =
˜
1.
Проверим дистрибутивность в
˜
X . Пусть E
i
∈
˜
X(i = 1, 2, 3). Обозначим
A = (E
1
∨ E
2
) ∧ E
3
, B = (E
1
∧ E
3
) ∨ (E
2
∧ E
3
). Достаточно доказать, что
A ⊆ B .
Допустим, что A ̸⊂ B , то есть существует u ∈ A\B. Тогда обязательно
найдется 0 < w ≤ u такой, что w ∈ B
d
. Действительно, если этого нет, то
для любого z ∈ B
d
в силу того, что u ∧ z ∈ B
d
, u ∧ z ≤ u должно быть
u ∧ z = 0. Но тогда u ∈ B
dd
= B . Противоречие.
По определению операций ∨, ∧ в
˜
X имеем B = [(E
1
∩ E
2
) ∪ (E
2
∩ E
3
)]
dd
=
[(E
1
∪ E
2
) ∩ E
3
]
dd
; B
d
= [(E
1
∪ E
2
) ∩ E
3
]
d
; A = (E
1
∨ E
2
) ∩ E
3
. Так как A
идеал, то u ∈ A ⇒ w ∈ A, то есть w ∈ E
3
, w ∈ E
1
∨ E
2
= (E
1
∪ E
2
)
dd
. В силу
39
  Из леммы 9.5. следует, что если E максимальный идеал, не являющийся
компонентой, то E dd = X .

  9.6. Предложение. Эквивалентны:
                   i) a = sup F , ii) XF = Xa ,    iii) Xa′ = F d .

  Доказательство. i) ⇒ ii): По лемме 9.3. a ∈ F dd , a′ ∈ F d . Поэтому Xa ⊂
F dd , Xa′ ⊂ F d и в силу свойства 7) пункта 9.2. Xa = (Xa′ )d ⊃ F dd . Итак,
Xa = F dd = XF .
ii) ⇒ iii): Пусть XF = Xa . Тогда Xa′ = (Xa )d = (XF )d = (F dd )d = F d .
iii) ⇒ i): По условию a′ ∈ F d . По свойству 7) пункта 9.2. Xa = (Xa′ )d =
F dd , a ∈ F dd . По лемме 9.3. a = sup F и предложение доказано.

  9.7. Теорема. Пусть X –булева алгебра, X̃ – множество всех компо-
нент X . Тогда ( X̃, ⊆) есть полная булева алгебра.
                                                                   ∧
 Доказательство. Если E ⊂ X̃ , то в силу свойства 10) пункта 6.2.     E=
∩ dd     ∪ d d                        ∨                 ∪         E∈E
  E =(      E ) . В силу леммы 9.5.      E=X∪ E=(         E)dd . Итак, X̃
E∈E        E∈E                               E∈E       E∈E      E∈E
есть полная решётка, в которой 0̃ = {0}, 1̃ = X .
  Покажем, что E d есть дополнение в X̃ к E . Действительно, E d ∧E = E d ∩
E = 0 = 0̃. Далее в силу 10) пункта 9.2. (E ∪ E d )d = E d ∩ E dd = E d ∩ E = 0.
Поэтому E ∨ E d = (E ∪ E d )dd = {0}d = X = 1̃.
  Проверим дистрибутивность в X̃ . Пусть Ei ∈ X̃(i = 1, 2, 3). Обозначим
A = (E1 ∨ E2 ) ∧ E3 , B = (E1 ∧ E3 ) ∨ (E2 ∧ E3 ). Достаточно доказать, что
A ⊆ B.
  Допустим, что A ̸⊂ B , то есть существует u ∈ A\B . Тогда обязательно
найдется 0 < w ≤ u такой, что w ∈ B d . Действительно, если этого нет, то
для любого z ∈ B d в силу того, что u ∧ z ∈ B d , u ∧ z ≤ u должно быть
u ∧ z = 0. Но тогда u ∈ B dd = B . Противоречие.
  По определению операций ∨, ∧ в X̃ имеем B = [(E1 ∩ E2 ) ∪ (E2 ∩ E3 )]dd =
[(E1 ∪ E2 ) ∩ E3 ]dd ; B d = [(E1 ∪ E2 ) ∩ E3 ]d ; A = (E1 ∨ E2 ) ∩ E3 . Так как A
идеал, то u ∈ A ⇒ w ∈ A, то есть w ∈ E3 , w ∈ E1 ∨ E2 = (E1 ∪ E2 )dd . В силу


                                        39

Страницы