От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U ̸= U
i
(q) для любого i ∈ I и, следовательно, q ̸∈ U . Тогда q ∈ U
c
, а
поскольку U
c
– открыто-замкнуто, то найдется индекс i
0
∈ I такой, что
U
c
= U
i
0
(q). В силу (2)
˜
U(˜q)
c
=
˜
U
i
0
. Противоречие с тем, что ˜q ∈
˜
U
i
0
и
˜q ̸∈
˜
U(˜q)
c
.
Итак, в семействе {
˜
U
i
: i ∈ I} перечислены все открыто-замкнутые окрест-
ности точки ˜q. Тогда
∩
i∈I
˜
U
i
= {˜q} и значит мы можем определить отображе-
ние f : Q →
˜
Q по формуле f(q) = ˜q. Ясно, что f является биекцией и для
любого открыто-замкнутого множества U в Q образ f(U) =
˜
U является
открыто-замкнутым множеством. Аналогично, прообраз любого открыто-
замкнутого множества при отображении f является открыто-замкнутым
множеством. Так как открыто-замкнутые множества образуют базис топо-
логии, это означает, что f гомеоморфизм. Теорема Стоуна доказана.
Пару (Q, φ), построенную в теореме 8.3 будем называть представлением
Стоуна б.а X .
В б.а X введем операции разности x − y = x ∧ y
′
; симметрической разно-
сти |x − y| = (x ∧ y
′
) ∨ (x
′
∧ y); и операции Шеффера x|y = x
′
∧ y
′
.
8.4. Следствие. В любой булевой алгебре справедливы утверждения:
1) x = |y − |x − y||, |x − y| = |x
′
− y
′
|, 2) |x − y| = x ∨ y − x ∧ y,
3) x ≤ y ∨ |x − y|, 4) |x − y| ≤ |x − z| ∨ |z − y|,
5) |x♢y − x♢z| ≤ |y − z|, 6) |x♢y − z♢u| ≤ |x − z| ∨ |y − u|,
где ♢ одна из операций ∨ или ∧.
Доказательство сводится (в силу теоремы Стоуна) к доказательству этих
равенств в алгебре множеств. Нетрудно видеть, что x∨y = (x|y)|(x|y), x∧y =
(x|x)|(y|y), x
′
= x|x и операция x|y коммутативна.
30
◦
. Пусть J – идеал всех конечных подмножеств бесконечного множества Ω,
J
c
= {A
c
: A ∈ J}, и символ ∗ ̸∈ Ω. Показать, что пространством Стоуна для
алгебры A
fin
= J ∪ J
c
является множество Ω
∗
= Ω ∪{∗} с базисом топологии
J ∪ J
c∗
, где J
c∗
= {A
c
∪ {∗} : A ∈ J} (одноточечная компактификация Ω).
36
U ̸= Ui (q) для любого i ∈ I и, следовательно, q ̸∈ U . Тогда q ∈ U c , а
поскольку U c – открыто-замкнуто, то найдется индекс i0 ∈ I такой, что
U c = Ui0 (q). В силу (2) Ũ (q̃)c = Ũi0 . Противоречие с тем, что q̃ ∈ Ũi0 и
q̃ ̸∈ Ũ (q̃)c .
  Итак, в семействе {Ũi : i ∈ I} перечислены все открыто-замкнутые окрест-
                       ∩
ности точки q̃ . Тогда    Ũi = {q̃} и значит мы можем определить отображе-
                           i∈I
ние f : Q → Q̃ по формуле f (q) = q̃ . Ясно, что f является биекцией и для
любого открыто-замкнутого множества U в Q образ f (U ) = Ũ является
открыто-замкнутым множеством. Аналогично, прообраз любого открыто-
замкнутого множества при отображении f является открыто-замкнутым
множеством. Так как открыто-замкнутые множества образуют базис топо-
логии, это означает, что f гомеоморфизм. Теорема Стоуна доказана.

   Пару (Q, φ), построенную в теореме 8.3 будем называть представлением
Стоуна б.а X .
   В б.а X введем операции разности x − y = x ∧ y ′ ; симметрической разно-
сти |x − y| = (x ∧ y ′ ) ∨ (x′ ∧ y); и операции Шеффера x|y = x′ ∧ y ′ .

   8.4. Следствие. В любой булевой алгебре справедливы утверждения:

        1) x = |y − |x − y||, |x − y| = |x′ − y ′ |, 2) |x − y| = x ∨ y − x ∧ y,
                    3) x ≤ y ∨ |x − y|, 4) |x − y| ≤ |x − z| ∨ |z − y|,
             5) |x♢y − x♢z| ≤ |y − z|, 6) |x♢y − z♢u| ≤ |x − z| ∨ |y − u|,
где ♢ одна из операций ∨ или ∧.
   Доказательство сводится (в силу теоремы Стоуна) к доказательству этих
равенств в алгебре множеств. Нетрудно видеть, что x∨y = (x|y)|(x|y), x∧y =
(x|x)|(y|y), x′ = x|x и операция x|y коммутативна.

30 ◦ . Пусть J – идеал всех конечных подмножеств бесконечного множества Ω,
J c = {Ac : A ∈ J}, и символ ∗ ̸∈ Ω. Показать, что пространством Стоуна для
алгебры Afin = J ∪ J c является множество Ω∗ = Ω ∪ {∗} с базисом топологии
J ∪ J c∗ , где J c∗ = {Ac ∪ {∗} : A ∈ J} (одноточечная компактификация Ω).


                                            36

Страницы