От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 5 стр.

– теорема Стоуна покорилась лишь для упорядоченных множеств с ортодо-
полнением. Теория меры и интеграла на квантовых структурах также имеет
глубокие результаты: достаточно вспомнить знаменитую теорему Глисона об
описании мер на проекторах гильбертова пространства и работы Сигала по
некоммутативному интегрированию.
  Квантовые логики впервые появились в работах Г. Биркгофа и Дж. фон
Неймана как логико-алгебраический подход к основам квантовой механики.
Другими важными объектами в квантовой механике являются наблюдаемые
и состояния, которым в математических моделях, использующих гильбер-
товые пространства, соответствуют самосопряженные операторы и меры на
проекторах. Отталкиваясь от булевых алгебр (дистрибутивных решеток с до-
полнениями) они пришли к понятию модулярной решетки L в которой для
любых a, b ∈ L
                    x ≤ b ⇒ (a ∨ x) ∧ b = (a ∧ b) ∨ x

Однако для решетки L(H) всех ортопроекторов в гильбертовом простран-
стве H выделенный выше модулярный закон выполняется тогда и только
тогда, когда H конечномерно. Возможно именно этот факт привел к замене
модулярного закона более слабым законом ортомодулярности:

                        a ≤ b ⇒ b = a ∨ (aθ ∧ b)

(здесь aθ ортодополнение к a). Так появились квантовые логики.
  Первая часть записей (§1 − §5) посвящена изложению элементарных ос-
нов теории решёток. Здесь рассмотрены различные операции над решётка-
ми, описание выпуклых подрешёток, представлен ряд примеров решёток.
Далее изучаются модулярные и дистрибутивные решётки. Дано определе-
ние свободной решётки в разных классах многообразий решёток, приведены
графы (диаграммы) некоторых свободных решёток. Остальные параграфы
(§6 − §16)посвящены систематическому изложению теории булевых алгебр.
Одним из основных понятий в этой теории является понятие идеала (мак-
симального идеала).Значительное внимание уделено также полным булевым

                                    5