Выборочный контроль. Сундарон Э.М - 11 стр.

партию и перемешивают. Затем берут наугад второе изде-                            держаться: 0,1,2,3, и т.д. бракованных деталей, т.е. задан-
лие, производят те же самые операции и т.д. Вероятность                           ное d раз. Можно также вычислить вероятность появления
извлечения (n-d) годных изделий из проконтролированных                            в такой выборке d штук дефектных деталей и более. Эта
определяются по формуле                                                           вероятность на основании правила сложения вероятностей
        рn − d , n = Cnn − d * p n − d * q d = d !*(nn!− d )! * p n − d q d (8)   будет равна
                                                                                                      d −1                             d −1
     Математическое ожидание µ и дисперсию σ2 биноми-
                                                                                       P ( n, d ) = 1 − ∑ P ( n, X ) = 1 − e           ∑
                                                                                                                                  nq          nq
ального распределения находят по формулам:                                                                                                    x!   (13)
                                                                                                      x =0                             x =0
                        µ = nq                        (9)
                                                                                        Пример 1. В партии имеются бракованные детали,
                    σ = nqp .
                      2
                                                     (10)                         доля которых составляет 0,1. Последовательно берут 10
     Закон редких событий (Пуассона). Закон редких со-                            деталей и обследуют, после чего их возвращают в партию,
бытий применяется в машиностроении для выборочного                                т.е. испытания носят независимый характер. Какова веро-
контроля готовой продукции, когда по техническим усло-                            ятность того, что при проверке 10 деталей попадется одна
виям в принимаемой партии продукции допускается неко-                             бракованная?
торый процент брака (обычно небольшой) - q<<0,1.                                        Решение. Из условия задачи q=0,1 n=10 d=1.
     Если вероятность q события А очень мала (q≤0,1), а                                 Очевидно, что р=1-q=0,9. Тогда
число испытаний велико, то вероятность того, что событие
А наступит d раз в n испытаниях, будет равна                                                        Р (10;1) = 110!9! * 0,1 * 0,90,9 = 0,387
                p ( n, d ) =    ad
                                а!   * e−a ,        (11)
                                                                                       Полученный результат можно отнести и к тому слу-
                                                                                  чаю, когда извлекается подряд 10 деталей без возврата их
где а=nq=µ[m] - математическое ожидание случайной ве-                             обратно в партию. При достаточно большой партии, на-
личины.                                                                           пример, 1000 шт., вероятность извлечения деталей изме-
     Уравнение (11) определяет собой распределение ред-                           нится ничтожно мало. Поэтому при таких условиях извле-
ких событий, или распределение Пуассона.                                          чение бракованной детали можно рассматривать как собы-
     Когда число испытаний n велико, а q мало, то закон                           тие, не зависящее от результатов предшествующих испы-
биномиального распределения и закон редких событий                                таний.
практически совпадают. Это имеет место тогда, когда                                    Пример 2. В партии имеется 1% бракованных дета-
q≤0,1. При этих условиях вместо формулы (8) можно при-                            лей. Какова вероятность того, что при взятии из партии
менить формулу (11).                                                              выборки объемом 50 единиц продукции в ней будет нахо-
     Принимая а=nq, формула (7) примет вид:                                       диться 0,1,2,3,4 дефектные детали.
                              ( nq) d                                                    Здесь q=0.01, nq=50*0.01=0.5
               р(n, d ) =        d!
                                        * e−nq .      (12)                                            0,5 0
     При помощи закона редких событий можно вычис-
                                                                                          Р(50;0) =    0!
                                                                                                              * е − 0,5 = 0,607
лить вероятность того, что в выборке из n единиц будет со-

                                                                           21     22