Механика. Суровицкая Г.В - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

49
Свободными, или собственными, называются колебания, которые
происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была
выведена из положения устойчивого равновесия.
В реальных условиях в системе действуют силы трения и силы
сопротивления среды. Часть механической энергии системы расходуется на
работу против сил трения, то есть превращается в теплоту. Вследствие этого
амплитуда колебаний системы уменьшается.
Затухающие механические колебания тела массы m происходят под
действием двух сил: силы упругости F
ynp
и силы сопротивления F
c
.
Сила упругости прямо пропорциональна смещению х тела от положения
равновесия и направлена к положению равновесия. F
ynp
= –kx.
Сила сопротивления при малой скорости движения тела пропорциональна
скорости и направлена в сторону, противоположную направлению скорости:
.
c
dx
F rV r
dt
= − = −
Второй закон Ньютона для колеблющегося тела запишем в виде:
F
ynp
+F
c
=ma, или –kx–rV=ma.
Учитывая, что ускорение
2
2
,
d x
a
dt
=
получим
2
2
d x dx
m r kx
dt dt
+ + =
(4.2)
Разделим уравнение (4.1) на массу m:
2
2
0.
d x r dx k
x
dt m dt m
+ + =
Введём обозначения:
2 ,
r
m
β
=
где β – коэффициент затухания; 
     Свободными, или собственными, называются колебания, которые
происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была
выведена из положения устойчивого равновесия.
     В реальных условиях в системе действуют силы трения и силы
сопротивления среды. Часть механической энергии системы расходуется на
работу против сил трения, то есть превращается в теплоту. Вследствие этого
амплитуда колебаний системы уменьшается.
     Затухающие механические колебания тела массы m происходят под
действием двух сил: силы упругости Fynp и силы сопротивления Fc.
     Сила упругости прямо пропорциональна смещению х тела от положения
равновесия и направлена к положению равновесия. F y n p = –kx.
     Сила сопротивления при малой скорости движения тела пропорциональна
скорости и направлена в сторону, противоположную направлению скорости:
                                               dx
                             Fc = − rV = − r      .
                                               dt
     Второй закон Ньютона для колеблющегося тела запишем в виде:
              Fynp+Fc=ma,     или     –kx–rV=ma.

                                       d 2x
     Учитывая, что ускорение        a=      , получим
                                       dt 2
                        d 2x  dx
                       m 2 +r    + kx = 0.            (4.2)
                        dt    dt
     Разделим уравнение (4.1) на массу m:
                            d 2x   r dx   k
                               2
                                 +      +   x = 0.
                            dt     m dt m
     Введём обозначения:
      r
        = 2 β , где β – коэффициент затухания;
      m




                                        49

Страницы